等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_7} = 4$，${a_{19}} = 2{a_9}$．
【难度】
【出处】
2013年高考大纲卷（文）
【标注】
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求 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = \dfrac{n + 1}{2}$解析本题考查等差数列的基本量计算．将题中条件化为 $a_1$ 和 $q$ 的关系式，求解即可．设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，则 ${a_n} = {a_1} + \left(n - 1\right)d$．
因为\[{\begin{cases}
{a_7} = 4 ,\\
{a_{19}} = 2{a_9}, \\
\end{cases}}\]所以\[{\begin{cases}{a_1} + 6d = 4 ,\\
{a_1} + 18d = 2\left({a_1} + 8d\right). \\
\end{cases}}\]解得\[{\begin{cases}{a_1} = 1,\\
d = \dfrac{1}{2}. \\
\end{cases}}\]所以 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = \dfrac{n + 1}{2}$． -
设 ${b_n} = \dfrac{1}{{n{a_n}}}$，求数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$．标注答案${S_n} = \dfrac{2n}{n + 1}$解析本题考查裂项求和法．将通项公式拆成连续两项的差即可．因为\[\begin{split}{b_n}= \dfrac{2}{n\left(n + 1\right)}= \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{n + 1},\end{split}\]所以\[\begin{split}{S_n} &= \left( {\dfrac{2}{1} - \dfrac{2}{2}} \right) + \left( {\dfrac{2}{2} - \dfrac{2}{3}} \right) + \cdots+ \left( {\dfrac{2}{n} - \frac{2}{n + 1}} \right)\\&= \dfrac{2n}{n + 1}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
