甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，各局比赛的结果相互独立，第 $1$ 局甲当裁判．
【难度】
【出处】
2013年高考大纲卷（文）
【标注】
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求第 $4$ 局甲当裁判的概率；标注答案$ \dfrac{1}{4}$解析本题考查事件的独立性．考虑甲第四局当裁判时，甲在第二第三局的胜负情况即可．记 ${A_1}$ 表示事件"第 $2$ 局结果为甲胜"，
${A_2}$ 表示事件"第 $3$ 局甲参加比赛时，结果为甲负"，
$A$ 表示事件"第 $4$ 局甲当裁判"．
则 $A{ = }{A_1} \cdot {A_2}$．\[\begin{split}P\left(A\right) &= P\left( {{A_1} \cdot {A_2}} \right) \\&= P\left( {A_1} \right)P\left( {A_2} \right) \\&= \dfrac{1}{4}.\end{split}\] -
求前 $4$ 局中乙恰好当 $1$ 次裁判的概率．标注答案$ \dfrac{5}{8}$解析只需根据乙在第几局当裁判分类，也就是根据乙的胜负情况分类即可．记 ${B_1}$ 表示事件"第 $1$ 局比赛结果为乙胜"，
${B_2}$ 表示事件"第 $2$ 局乙参加比赛时，结果为乙胜"，
${B_3}$ 表示事件"第 $3$ 局乙参加比赛时，结果为乙胜"，
$B$ 表示事件"前 $4$ 局中乙恰好当 $1$ 次裁判"，
则 $B = \overline {B}_1 \cdot {B_3} + {B_1} \cdot {B_2} \cdot \overline {B}_3 + {B_1} \cdot \overline {B}_2 $．
故\[\begin{split}P\left(B\right) &= P\left(\overline {B}_1 \cdot {B_3} + {B_1} \cdot {B_2} \cdot \overline {B}_3 + {B_1} \cdot \overline {B}_2 \right) \\&= P\left(\overline {B}_1 \cdot {B_3}\right) + P\left({B_1} \cdot {B_2} \cdot \overline {B}_3 \right) + P\left({B_1} \cdot \overline {B}_2 \right) \\&= P\left(\overline {B}_1 \right)P\left({B_3}\right) + P\left({B_1}\right)P\left({B_2}\right)P\left(\overline{B}_3\right)+P\left({B_1}\right)P\left(\overline {B}_2 \right) \\&= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} \\&= \dfrac{5}{8}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
