$f\left(x\right)$ 的单调递减区间是 $\left(0,\sqrt k\right)$，单调递增区间是 $\left(\sqrt k,+\infty \right)$．
$f\left(x\right)$ 在 $x=\sqrt k$ 处取得极小值 $f\left(\sqrt k\right)=\dfrac{k\left(1-\ln k\right)}{2}$，无极大值．

本题考查利用导数判断函数单调性与极值的相关问题．导函数的正负决定原函数的增减．函数 $f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}-k\ln x$ 的定义域为 $\left(0,+\infty\right)$．
对 $f\left(x\right)$ 进行求导得\[f'\left(x\right)=x-\dfrac kx=\dfrac{x^2-k}{x}.\]由 $f'\left(x\right)=0$，解得 $x=\sqrt k$（负值舍去）．
$f\left(x\right)$ 与 $f'\left(x\right)$ 在区间 $\left(0,+\infty\right)$ 上的情况如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x&\left(0,\sqrt k\right)&\sqrt k &\left(\sqrt k,+\infty\right)\\ \hline
f'\left(x\right)&-&0&+\\ \hline
f\left(x\right)&↘&\dfrac{k\left(1-\ln k\right)}{2}&↗\\ \hline
\end{array}\]所以 $f\left(x\right)$ 的单调递减区间是 $\left(0,\sqrt k\right)$，单调递增区间是 $\left(\sqrt k,+\infty \right)$．
$f\left(x\right)$ 在 $x=\sqrt k$ 处取得极小值 $f\left(\sqrt k\right)=\dfrac{k\left(1-\ln k\right)}{2}$，无极大值．

略

通过分析所给区间上函数单调性与最值，判断函数零点个数．由（1）知，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left(0,+\infty\right)$ 上的最小值为 $f\left(\sqrt k\right)=\dfrac{k\left(1-\ln k\right)}{2}$．
因为 $f\left(x\right)$ 存在零点，所以 $\dfrac{k\left(1-\ln k\right)}{2}\leqslant 0$，从而 $k\geqslant{\mathrm e}$．
当 $k=\mathrm e$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left(1,\sqrt{\mathrm e}\right)$ 上单调递减，且 $f\left(\sqrt{\mathrm e}\right)=0$，
所以 $x=\sqrt{\mathrm e}$ 是 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(1,\sqrt{\mathrm e}\right]$ 上的唯一零点．
当 $k>\mathrm e$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left(1,\sqrt{\mathrm e}\right)$ 上单调递减，且 $f\left(1\right)=\dfrac12>0$，$f\left(\sqrt{\mathrm e}\right)=\dfrac{\mathrm e-k}{2}<0$．
所以 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(1,\sqrt{\mathrm e}\right]$ 上仅有一个零点．
综上可知，若 $f\left(x\right)$ 存在零点，则 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(1,\sqrt{\mathrm e}\right]$ 上仅有一个零点．