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已知椭圆 $C:x^2+3y^2=3$，过点 $D\left(1,0\right)$ 且不过点 $E\left(2,1\right)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，直线 $AE$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  1. 求椭圆 $C$ 的离心率；
    标注
    答案
    $e=\dfrac{\sqrt6}{3}$
    解析
    本题考查椭圆离心率的计算．椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$，
    所以 $a=\sqrt3$，$b=1$，$c=\sqrt2$．
    所以椭圆 $C$ 的离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt6}{3}$．
  2. 若 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $BM$ 的斜率；
    标注
    答案
    $k_{BM}=1$
    解析
    本题考查直线斜率相关知识．因为 $AB$ 过点 $D\left(1,0\right)$ 且垂直于 $x$ 轴，
    所以可设 $A\left(1,y_1\right)$，$B\left(1,-y_1\right)$，
    直线 $AE$ 的方程为 $y-1=\left(1-y_1\right)\left(x-2\right)$．
    令 $x=3$ 得 $M\left(3,2-y_1\right)$．
    所以直线 $BM$ 的斜率$k_{BM}=\dfrac{2-y_1+y_1}{3-1}=1$．
  3. 试判断直线 $BM$ 与直线 $DE$ 的位置关系，并说明理由．
    标注
    答案
    直线 $BM$ 与直线 $DE$ 平行．
    解析
    先通过特殊情形，得到两直线的位置关系之结论，再探究一般情况下结论是否仍成立．直线 $BM$ 与直线 $DE$ 平行．
    理由如下：
    当直线 $AB$ 的斜率不存在时，由（2）可知 $k_{BM}=1$．
    又因为直线 $D E$ 的斜率 $k_{DE}=\dfrac{1-0}{2-1}=1$，所以 $BM\parallel DE$．
    当直线 $AB$ 的斜率存在时，设其方程为 $y=k\left(x-1\right)$（$k\neq1$）．
    设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，则直线 $AE$ 的方程为\[y-1=\dfrac{y_1-1}{x_1-2}\left(x-2\right).\]令 $x=3$，得点 $M\left(3,\dfrac{y_1+x_1-3}{x_1-2}\right)$，所以\[x_1+x_2=\dfrac{6k^2}{1+3k^2} , x_1x_2=\dfrac{3k^2-3}{1+3k^2} .\]直线 $BM$ 的斜率 $k_{BM}=\dfrac{\dfrac{y_1+x_1-3}{x_1-2}-y_2}{3-x_2}$．
    因为\[\begin{split}k_{BM}-1&=\dfrac{k\left(x_1-1\right)+x_1-3-k\left(x_2-1\right)\left(x_1-2\right)-\left(3-x_2\right)\left(x_1-2\right)}{\left(3-x_2\right)\left(x_1-2\right)}
    \\&=\dfrac{\left(k-1\right)\left[-x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)-3\right]}{\left(3-x_2\right)\left(x_1-2\right)}
    \\&=\dfrac{\left(k-1\right)\left(\dfrac{-3k^2+3}{1+3k^2}+\dfrac{12k^2}{1+3k^3}-3\right)}{\left(3-x_2\right)\left(x_1-2\right)}\\&=0.\end{split}\]所以 $k_{BM}=1=k_{DE}$，所以 $BM\parallel DE$．
    综上可知，直线 $BM$ 与直线 $DE$ 平行．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
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