某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为 $l_1$，$l_2$，山区边界曲线为 $C$，计划修建的公路为 $l$．如图所示，$M$，$N$ 为 $C$ 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $5$ 千米和 $40$ 千米，点 $N$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $20$ 千米和 $2.5$ 千米．以 $l_2$，$l_1$ 所在的直线分别为 $x$，$y$ 轴，建立平面直角坐标系 $xOy$．假设曲线 $C$ 符合函数 $y=\dfrac{a}{x^2+b}$（其中 $a$，$b$ 为常数）模型．
【难度】
【出处】
2015年高考江苏卷
【标注】
-
求 $a$，$b$ 的值；标注答案$\begin{cases}
a=1000,\\
b=0.
\end{cases}$解析将点 $M(5,40)$ 和点 $N(20,2.5)$ 的坐标代入函数 $y=\dfrac{a}{x^2+b}$ 的解析式中即可求出 $a,b$．由题意知，点 $M$，$N$ 的坐标分别为 $\left(5,40\right)$，$\left(20,2.5\right)$．
将其分别代入 $y=\dfrac{a}{x^2+b}$，得 $\begin{cases}
\dfrac{a}{25+b}=40,\\
\dfrac{a}{400+b}=2.5,
\end{cases}$解得 $\begin{cases}a=1000,\\
b=0.
\end{cases}$ -
设公路 $l$ 与曲线 $C$ 相切于 $P$ 点，$P$ 的横坐标为 $t$．
（i）请写出公路 $l$ 长度的函数解析式 $f\left(t\right)$，并写出其定义域；
（ii）当 $t$ 为何值时，公路 $l$ 的长度最短？求出最短长度．标注答案（i）$f\left(t\right)=\sqrt{\left(\dfrac{3t}2\right)^2+\left(\dfrac{3 000}{t^2}\right)^2}
=\dfrac 32\sqrt{t^2+\dfrac{4\times 10^6}{t^4}}$，$t\in\left[5,20\right]$．
（ii）当 $t=10\sqrt 2$ 时，公路 $l$ 的长度最短，最短长度为 $15\sqrt 3$ 千米解析先求出直线 $l$ 的方程，然后利用两点间距离公式建立 $f(t)$ 的表达式，最后利用导数求 $f(t)$ 最小值即可．（i）由 $(1)$ 知，$y=\dfrac{1000}{x^2}\left(5\leqslant x\leqslant 20\right)$，则点 $P$ 的坐标为 $\left(t,\dfrac{1000}{t^2}\right)$．
设在点 $P$ 处的切线 $l$ 交 $x$，$y$ 轴分别于 $A$，$B$ 两点．$y'=-\dfrac{2 000}{x^3}$，则 $l$ 的方程为 $y-\dfrac{1 000}{t^2}=-\dfrac{2 000}{t^3}\left(x-t\right)$，
由此得 $A\left(\dfrac{3t}2,0\right)$，$B\left(0,\dfrac{3 000}{t^2}\right)$．
故 $f\left(t\right)=\sqrt{\left(\dfrac{3t}2\right)^2+\left(\dfrac{3 000}{t^2}\right)^2}
=\dfrac 32\sqrt{t^2+\dfrac{4\times 10^6}{t^4}}$，$t\in\left[5,20\right]$．
（ii）设 $g\left(t\right)=t^2+\dfrac{4\times 10^6}{t^4}$，则 $g'\left(t\right)=2t-\dfrac{16\times 10^6}{t^5}$．
令 $g'\left(t\right)=0$，解得 $t=10\sqrt 2$．
当 $t\in\left(5,10\sqrt 2\right)$ 时，$g'\left(t\right)<0$，$g\left(t\right)$ 是减函数；
当 $t\in\left(10\sqrt 2,20\right)$ 时，$g'\left(t\right)>0$，$g\left(t\right)$ 是增函数．
从而，当 $t=10\sqrt 2$ 时，函数 $g\left(t\right)$ 有极小值，也是最小值，
所以 $g\left(t\right)_{\min}=300$，此时 $f\left(t\right)_{\min}=15\sqrt 3$．
答：当 $t=10\sqrt 2$ 时，公路 $l$ 的长度最短，最短长度为 $15\sqrt 3$ 千米．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
