$\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{8}=1$．

将题中条件转化为两个关于 $a,b,c$ 的等式关系，解出 $a,b$ 即可．由 $C_1:x^2=4y$ 知其焦点 $F$ 的坐标为 $\left(0,1\right)$．
因为 $F$ 也是椭圆 $C_2$ 的一个焦点，所以\[a^2-b^2=1. \quad \cdots \cdots ① \]又 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦长为 $2\sqrt 6$，$C_1$ 关于 $y$ 轴对称，$C_2$ 关于 $y$ 轴对称且 $C_1$ 的方程为 $x^2=4y$，由此知 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点坐标为 $\left(\pm\sqrt 6,\dfrac{3}{2}\right)$，所以\[\dfrac{9}{4a^2}+\dfrac{6}{b^2}=1. \quad \cdots \cdots ② \]联立 $ ①② $ 得 $a^2=9$，$b^2=8$，故 $C_2$ 的方程为 $\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{8}=1$．

（i）$\pm\dfrac{\sqrt 6}{4}$．
（ii）略．

第一小问，将共线的线段距离关系转化为对应向量的横坐标的关系，会使问题大大简化；第二小问，确定出最大角，证明其相关向量的数量积为负即可．如图，设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，$C\left(x_3,y_3\right)$，$D\left({x_4},{y_4}\right)$．（i）因 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向，且 $ \left|AC \right|= \left|BD \right|$，所以 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$，从而 $x_3-x_1=x_4-x_2$，即 $x_1-x_2=x_3-x_4$，于是\[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(x_3+x_4\right)^2-4x_3x_4 . \quad \cdots \cdots ③ \]设直线 $l$ 的斜率为 $k$，则 $l$ 的方程为 $y=kx+1$．
联立直线与抛物线方程\[\begin{cases}
y=kx+1,\\
x^2=4y,\\
\end{cases}\]整理，得\[x^2-4kx-4=0.\]而 $x_1$，$x_2$ 是这个方程的两根，所以\[\begin{cases}x_1+x_2=4k, \\x_1x_2=-4. \end{cases}\quad \cdots \cdots ④ \]再联立直线与椭圆方程\[\begin{cases}y=kx+1,\\
\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{8}=1,\\
\end{cases}\]整理，得\[\left(9+8k^2\right)x^2+16kx-64=0,\]而 $x_3$，$x_4$ 是这个方程的两根，所以\[\begin{cases}x_3+{x_4}=-\dfrac{16k}{9+8k^2},\\x_1x_2=-\dfrac{64}{9+8k^2}.\end{cases} \quad \cdots \cdots ⑤ \]将 $ ④⑤ $ 代入 $ ③ $ 得\[16\left(k^2+1\right)=\dfrac{16^2k^2}{\left(9+8k^2\right)^2}+\dfrac{4\times 64}{9+8k^2},\]整理，得\[\left(9+8k^2\right)^2=16\times 9,\]解得 $k=\pm\dfrac{\sqrt 6}{4}$，即直线 $l$ 的斜率为 $\pm\dfrac{\sqrt 6}{4}$．
（ii）由 $x^2=4y$ 得 $y'=\dfrac{x}{2}$，所以 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线方程为 $y-y_1=\dfrac{x_1}{2}\left(x-x_1\right)$，即\[y=\dfrac{x_1x}{2}-\dfrac{x_1^2}{4}.\]令 $y=0$ 得 $x=\dfrac{x_1}{2}$，即 $M\left(\dfrac{x_1}{2},0\right)$，所以 $\overrightarrow{FM}=\left(\dfrac{x_1}{2},-1\right)$，而 $\overrightarrow{FA}=\left(x_1,y_1-1\right)$，于是\[\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FA}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{x_1^2}{2}-y_1+1=\dfrac{x_1^2}{4}+1>0,\]（推导中用到[a]）
因此 $\angle AFM$ 是锐角，从而 $\angle MFD={180^\circ}-\angle AFM$ 是钝角．
故直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle MFD$ 总是钝角三角形．