如图，$O$ 为坐标原点，椭圆 ${C_1}:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别为 ${F_1}$、${F_2}$，离心率为 ${e_1}$；双曲线 ${C_2}:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的左、右焦点分别为 ${F_3}$、${F_4}$，离心率为 ${e_2}$．已知 ${e_1}{e_2} = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，且 $\left| {{F_2}{F_4}} \right| = \sqrt 3 - 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 ${C_1}$，${C_2}$ 的方程；标注答案椭圆 $C_1$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1 $；
双曲线 $C_2$ 的方程为 $ \dfrac{x^2}{2} - {y^2} = 1$．解析本题考查圆锥曲线的基本量，根据题意建立等式关系，解方程即可．因为 ${e_1}{e_2} = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，所以\[\dfrac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a} \cdot \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \dfrac{\sqrt 3 }{2},\]即\[{a^4} - {b^4} = \dfrac{3}{4}{a^4},\]因此 ${a^2} = 2{b^2}$，从而 ${F_2}\left(b,0\right)$，${F_4}\left(\sqrt 3 b,0\right)$，于是\[\sqrt 3 b - b = \left| {{F_2}{F_4}} \right| = \sqrt 3 - 1,\]所以\[b = 1,{a^2} = 2.\]所以椭圆$C_1$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1 $；双曲线$C_2$ 的方程为 $ \dfrac{x^2}{2} - {y^2} = 1$． -
过 ${F_1}$ 作 ${C_1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $AB$，$M$ 为弦 $AB$ 的中点．当直线 $OM$ 与 ${C_2}$ 交于 $P$，$Q$ 两点时，求四边形 $APBQ$ 面积的最小值．标注答案$ 2 $．解析本题考查四边形面积的最小值问题，恰当的表示面积是本题的关键，根据 $AB$ 中点在 $PQ$ 上，可用弦 $PQ$ 的长度作为底，点 $A$ 到其的距离的 $2$ 倍作为高来表示面积．因 $ AB $ 不垂直于 $ y $ 轴，且过点 ${F_1}\left( - 1,0\right)$，故可设直线 $ AB $ 的方程为\[x = my - 1.\]联立直线与椭圆方程，得\[\begin{cases}
x = my - 1, \\
\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1 .\\
\end{cases}\]化简，得\[\left({m^2} + 2\right){y^2} - 2my - 1 = 0.\]由直线 $x=my+1$ 经过椭圆的焦点，可知此方程的判别式大于 $0$．
设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，则 ${y_1}$，${y_2}$ 是上述方程的两个实根，所以\[\begin{cases} {y_1} + {y_2} = \dfrac{2m}{m^2+2} , \\ {y_1}{y_2} = \dfrac{-1}{m^2+2} , \end{cases}\]因此\[{x_1} + {x_2} = m\left({y_1} + {y_2}\right) - 2 = \dfrac{ - 4}{{{m^2} + 2}},\]于是 $ AB $ 的中点为\[M\left(\dfrac{ - 2}{{{m^2} + 2}},\dfrac{m}{{{m^2} + 2}}\right),\]故直线 $ PQ $ 的斜率为 $ - \dfrac{m}{2}$，$ PQ $ 的方程为 $y = - \dfrac{m}{2}x$，即\[mx + 2y = 0.\]联立直线与双曲线方程，得\[\begin{cases}y = - \dfrac{m}{2}x, \\
\dfrac{x^2}{2} - {y^2} = 1. \\
\end{cases}\]化简，得\[\left(2 - {m^2}\right){x^2} = 4,\]所以 $2 - {m^2} > 0$，且\[{x^2} = \dfrac{4}{{2 - {m^2}}} , {y^2} = \dfrac{m^2}{{2 - {m^2}}},\]从而\[\left| {PQ} \right| = 2\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2\sqrt {\dfrac{{{m^2} + 4}}{{2 - {m^2}}}} .\]设点 $ A $ 到直线 $ PQ $ 的距离为 $ d $，则点 $ B $ 到直线 $ PQ $ 的距离也为 $ d $，所以\[2d = \dfrac{{\left| {m{x_1} + 2{y_1}} \right| + \left| {m{x_2} + 2{y_2}} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 4} }}.\]因为点 $ A$，$B $ 在直线 $mx + 2y = 0$ 的异侧，所以\[\left(m{x_1} + 2{y_1}\right)\left(m{x_2} + 2{y_2}\right) < 0,\]于是\[\left| {m{x_1} + 2{y_1}} \right| + \left| {m{x_2} + 2{y_2}} \right| = \left| {m{x_1} + 2{y_1} - m{x_2} - 2{y_2}} \right|,\]从而\[2d = \dfrac{{\left({m^2} + 2\right)\left| {{y_1} - {y_2}} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 4} }}.\]又因为\[\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = \sqrt {{{\left({y_1} + {y_2}\right)}^2} - 4{y_1}{y_2}} = \dfrac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }}{{{m^2} + 2}},\]所以\[2d = \dfrac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }}{{\sqrt {{m^2} + 4} }}.\]故四边形 $ APBQ $ 的面积\[\begin{split}S&= \dfrac{1}{2}\left| {PQ} \right| \cdot 2d \\&= \dfrac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }}{{\sqrt {2 - {m^2}} }}\\& = 2\sqrt 2 \cdot \sqrt { - 1 + \dfrac{3}{{2 - {m^2}}}} .\end{split}\]而 $0 < 2 - {m^2} \leqslant 2$，故当 $m = 0$ 时，$ S $ 取得最小值 $ 2 $．
综上所述，四边形 $ APBQ $ 面积的最小值为 $ 2 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
