当 $a \geqslant 1$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left(0, + \infty \right) $ 上单调递增；
当 $0< a <1$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left(0, 2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} \right) $ 上单调递减，在区间 $ \left(2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} , + \infty \right) $ 上单调递增．

本题考查利用导数研究含参函数的单调性问题，对于导函数为二次型的，一般从以下几个角度考虑：开口方向、有没有根、根在不在定义域内、两根的大小关系，入手分类．由题知\[\begin{split}f' \left(x\right) &= \dfrac{a}{1 + ax} - \dfrac{2\left(x + 2\right) - 2x}{{{{\left(x + 2\right)}^2}}}\\& = \dfrac{{a{x^2} + 4\left(a - 1\right)}}{{\left(1 + ax\right){{\left(x + 2\right)}^2}}}. \quad \cdots \cdots ① \end{split}\]当 $a \geqslant 1$ 时，$f'\left(x\right)\geqslant 0$，此时 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增．
当 $ 0<a<1 $ 时，由 $f'\left(x\right)=0$ 得\[x_1 = 2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} \left(x_2 = - 2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} 舍去\right).\]当 $x \in \left(0, x_1\right)$ 时，$f'\left(x\right) <0$；
当 $x \in \left(x_1, + \infty \right)$ 时，$f'\left(x\right) >0$．
故 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left(0, x_1\right) $ 上单调递减，在区间 $ \left(x_1 , + \infty \right) $ 上单调递增．
综上所述，当 $a \geqslant 1$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left(0, + \infty \right) $ 上单调递增；
当 $0< a <1$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left(0, 2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} \right) $ 上单调递减，在区间 $ \left(2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} , + \infty \right) $ 上单调递增．

$ \left(\dfrac{1}{2} ,1\right)$

将 $f(x_1)+f(x_2)$ 整理为关于 $a$ 的函数，再求其最小值为本题的关键．由第（1）问知，当 $a \geqslant 1$，$f'\left(x\right) \geqslant 0$，此时 $f\left(x\right)$ 不存在极值点，因而要使得 $f\left(x\right)$ 有两个极值点，必有 $0< a<1$．
又 $f\left(x\right)$ 的极值点只可能是\[x_1 = 2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} 和 x_2 = - 2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} ,\]且由 $f\left(x\right)$ 的定义可知，$x > - \dfrac{1}{a}$ 且 $x \ne -2$，所以\[ -2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} > - \dfrac{1}{a}, -2\sqrt {\dfrac{1 - a}{a}} \ne -2, \]解得 $a \ne \dfrac{1}{2}$．此时，由第（1）问易知，$x_1,x_2$ 分别是 $f\left(x\right)$ 的极小值点和极大值点，而\[ \begin{split}f\left(x_1\right) + f\left(x_2\right) & = \ln \left( 1 + ax_1 \right)- \dfrac{2x_1}{x_1 + 2} + \ln \left(1+ ax_2 \right)- \dfrac{2x_2}{x_2 + 2}
\\&= \ln {\left( {2a - 1} \right)^2} + \dfrac{2}{2a - 1} - 2. \end{split}\]令 $2 a -1=x$，由 $0< a <1$ 且 $a \ne \dfrac{1}{2}$ 知，
当 $0< a < \dfrac{1}{2}$ 时，$-1<x<0$；当 $\dfrac{1}{2} < a <1$ 时，$0<x<1$．
记 $g \left(x\right)=\ln {x^2} + \dfrac{2}{x} -2$．
（i）当 $ -1<x<0 $ 时，$g \left(x\right)=2\ln\left(-x\right)+ \dfrac{2}{x} -2<0$，故当 $0< a < \dfrac{1}{2}$ 时，$f\left(x_1\right) + f\left(x_2\right) <0$；
（ii）当 $ 0<x<1 $ 时，$g \left(x\right)=2\ln x+ \dfrac{2}{x} -2$，所以\[g' \left(x\right)= \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{2x - 2}{x^2} <0,\]因此，$g \left(x\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上单调递减，从而\[g \left(x\right)> g \left(1\right)=0.\]故当 $\dfrac{1}{2} < a <1$ 时，$f\left(x_1\right) + f\left(x_2\right) >0$．
综上所述．满足条件的 $ a $ 的取值范围为 $ \left(\dfrac{1}{2} ,1\right)$．