题目

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全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 $20$ 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline
组号&分组&频数 \\ \hline
1&\left[4,5\right)&2 \\ \hline
2&\left[5,6\right)&8 \\ \hline
3&\left[6,7\right)&7 \\ \hline
4&\left[7,8\right]&3 \\ \hline
\end{array}\]

【难度】

【出处】

2015年高考福建卷（文）

【标注】

现从融合指数在 $\left[4,5\right)$ 和 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 $2$ 家进行调研，求至少有 $1$ 家的融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的概率；
标注
答案

$\dfrac{9}{10}$．

解析

根据题意求出基本事件空间，“至少问题”可以求出其反面的事件空间，再结合对立事件关系，求出题目所需概率．解法一：
融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $A_1$，$A_2$，$A_3$；
融合指数在 $\left[4,5\right)$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $B_1$，$B_2$．
从融合指数在 $\left[4,5\right)$ 和 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 $2$ 家的所有基本事件是：$\left\{A_1,A_2\right\}$，$\left\{A_1,A_3\right\}$，$\left\{A_2,A_3\right\}$，$\left\{A_1,B_1\right\}$，$\left\{A_1,B_2\right\}$，$\left\{A_2,B_1\right\}$，$\left\{A_2,B_2\right\}$，$\left\{A_3,B_1\right\}$，$\left\{A_3,B_2\right\}$，$\left\{B_1,B_2\right\}$，共 $10$ 个．
其中，至少有 $1$ 家融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的基本本件是：$\left\{A_1,A_2\right\}$，$\left\{A_1,A_3\right\}$，$\left\{A_2,A_3\right\}$，$\left\{A_1,B_1\right\}$，$\left\{A_1,B_2\right\}$，$\left\{A_2,B_1\right\}$，$\left\{A_2,B_2\right\}$，$\left\{A_3,B_1\right\}$，$\left\{A_3,B_2\right\}$，共 $9$ 个．
所以所求的概率 $P=\dfrac{9}{10}$．
解法二：
融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $A_1$，$A_2$，$A_3$；
融合指数在 $\left[4,5\right)$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $B_1$，$B_2$．
从融合指数在 $\left[4,5\right)$ 和 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 $2$ 家的所有的基本事件是：$\left\{A_1,A_2\right\}$，$\left\{A_1,A_3\right\}$，$\left\{A_2,A_3\right\}$，$\left\{A_1,B_1\right\}$，$\left\{A_1,B_2\right\}$，$\left\{A_2,B_1\right\}$，$\left\{A_2,B_2\right\}$，$\left\{A_3,B_1\right\}$，$\left\{A_3,B_2\right\}$，$\left\{B_1,B_2\right\}$，共 $10$ 个．
其中，没有 $1$ 家融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的基本事件是：$\left\{B_1,B_2\right\}$，共 $1$ 个．
因此，没有 $1$ 家融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的概率为 $\dfrac{1}{10}$．
所以所求的概率 $P=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$．
根据分组统计表求这 $20$ 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
标注
答案

$6.05$．

解析

根据平均数求法，算出平均数．这 $20$ 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 $4.5\times \dfrac{2}{20}+5.5\times \dfrac{8}{20}+6.5\times \dfrac{7}{20}+7.5\times \dfrac{3}{20}=6.05$．

题目问题1 答案1 解析1

根据题意求出基本事件空间，“至少问题”可以求出其反面的事件空间，再结合对立事件关系，求出题目所需概率．解法一： 融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $A_1$，$A_2$，$A_3$； 融合指数在 $\left[4,5\right)$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $B_1$，$B_2$． 从融合指数在 $\left[4,5\right)$ 和 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 $2$ 家的所有基本事件是：$\left\{A_1,A_2\right\}$，$\left\{A_1,A_3\right\}$，$\left\{A_2,A_3\right\}$，$\left\{A_1,B_1\right\}$，$\left\{A_1,B_2\right\}$，$\left\{A_2,B_1\right\}$，$\left\{A_2,B_2\right\}$，$\left\{A_3,B_1\right\}$，$\left\{A_3,B_2\right\}$，$\left\{B_1,B_2\right\}$，共 $10$ 个． 其中，至少有 $1$ 家融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的基本本件是：$\left\{A_1,A_2\right\}$，$\left\{A_1,A_3\right\}$，$\left\{A_2,A_3\right\}$，$\left\{A_1,B_1\right\}$，$\left\{A_1,B_2\right\}$，$\left\{A_2,B_1\right\}$，$\left\{A_2,B_2\right\}$，$\left\{A_3,B_1\right\}$，$\left\{A_3,B_2\right\}$，共 $9$ 个． 所以所求的概率 $P=\dfrac{9}{10}$． 解法二： 融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $A_1$，$A_2$，$A_3$； 融合指数在 $\left[4,5\right)$ 内的“省级卫视新闻台”记为 $B_1$，$B_2$． 从融合指数在 $\left[4,5\right)$ 和 $\left[7,8\right]$ 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 $2$ 家的所有的基本事件是：$\left\{A_1,A_2\right\}$，$\left\{A_1,A_3\right\}$，$\left\{A_2,A_3\right\}$，$\left\{A_1,B_1\right\}$，$\left\{A_1,B_2\right\}$，$\left\{A_2,B_1\right\}$，$\left\{A_2,B_2\right\}$，$\left\{A_3,B_1\right\}$，$\left\{A_3,B_2\right\}$，$\left\{B_1,B_2\right\}$，共 $10$ 个． 其中，没有 $1$ 家融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的基本事件是：$\left\{B_1,B_2\right\}$，共 $1$ 个． 因此，没有 $1$ 家融合指数在 $\left[7,8\right]$ 内的概率为 $\dfrac{1}{10}$． 所以所求的概率 $P=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$．