${2{\mathrm \pi} }$．

根据二倍角公式，将题中三角函数降为一次式，再结合辅助角公式，将题中三角函数最终转化为正弦型函数形式，从而求出最小正周期．因为\[\begin{split}f\left(x\right)&=10\sqrt 3\sin \dfrac x2\cos \dfrac x2+10{\cos^2}\dfrac x2
\\&\overset{\left[a\right]}=5\sqrt 3\sin x+5\cos x+5\\&\overset{\left[b\right]}=10\sin \left(x+\dfrac{\mathrm \pi} 6\right)+5,\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）
所以函数 $f\left(x\right)$ 的最小正周期$T=2{\mathrm \pi} $．

① $g\left(x\right)=10\sin x-8$．
② 略．

第一小问，根据三角函数图象变换，得到 $g\left(x\right)$ 的解析式，第二小问，首先借助特殊角得到一个满足题意的正整数，并求出它所在的区间，结合三角函数的周期性，得出所有满足题意的正整数及对应的区间．① 将 $f\left(x\right)$ 的图象向右平移$\dfrac{\mathrm \pi} 6$ 个单位长度后得到\[y=10\sin x+5,\]，再向下平移$a\left(a>0\right)$ 个单位长度后得到\[g\left(x\right)=10\sin x+5-a,\]又已知函数 $g\left(x\right)$ 的最大值为 $2$，所以\[10+5-a=2,\]解得 $a=13$，因此 $g\left(x\right)=10\sin x-8$．
② 要证明存在无穷多个互不相同的正整数 $x_0$，使得 $g\left(x_0\right)>0$，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 $x_0$，使得 $10\sin x_0-8>0$，即 $\sin x_0>\dfrac 45$．
由 $\dfrac 45<\dfrac{\sqrt 3}2$ 知，存在 $0<\alpha_0<\dfrac{\mathrm \pi} 3$，使得 $\sin \alpha_0=\dfrac 45$．
由正弦函数的性质可知，当 $x\in\left(\alpha_0,{\mathrm \pi} -\alpha_0\right)$ 时，均有 $\sin x>\dfrac 45$．
因为 $y=\sin x$ 的周期为 $2{\mathrm \pi} $，所以当 $x\in\left(2k{\mathrm \pi} +\alpha_0,2k{\mathrm \pi} +{\mathrm \pi} -\alpha_0\right)\left(k\in{\mathbb{Z}}\right)$ 时，均有 $\sin x>\dfrac 45$．
因为对任意的整数 $k$，\[\left(2k{\mathrm \pi} +{\mathrm \pi} -\alpha_0\right)-\left(2k{\mathrm \pi} +\alpha_0\right)={\mathrm \pi} -2\alpha_0>\dfrac{\mathrm \pi} 3>1,\]所以对任意的正整数 $k$，都存在正整数 $x_k\in\left(2k{\mathrm \pi} +\alpha_0,2k{\mathrm \pi} +{\mathrm \pi} -\alpha_0\right)$，使得 $\sin x_k>\dfrac 45$．
即存在无穷多个互不相同的正整数 $x_0$，使得 $g\left(x_0\right)>0$．