已知函数 $f\left(x\right)=\ln x-\dfrac{\left(x-1\right)^2}2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求函数 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间；标注答案$\left(0,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$．解析本题考查利用导数研究函数单调性．$f'\left(x\right)=\dfrac 1x-x+1=\dfrac{-x^2+x+1}x$，$x\in\left(0,+\infty\right)$．
由 $f'\left(x\right)>0$，得 $\begin{cases}
x>0,\\
-x^2+x+1>0,
\end{cases}$ 解得 $0<x<\dfrac{1+\sqrt 5}2$．
故 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)$． -
证明：当 $x>1$ 时，$f\left(x\right)<x-1$；标注答案略解析移项后研究新函数的最值问题．令 $F\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(x-1\right)$，$x\in\left(0,+\infty\right)$，则有 $F'\left(x\right)=\dfrac{1-x^2}x$．
当 $x\in\left(1,+\infty\right)$ 时，$F'\left(x\right)<0$，
所以 $F\left(x\right)$ 在 $\left[1,+\infty\right)$ 上单调递减，故当 $x>1$ 时，$F\left(x\right)<F\left(1\right)=0$，即当 $x>1$ 时，$f\left(x\right)<x-1$． -
确定实数 $k$ 的所有可能取值，使得存在 $x_0>1$，当 $x\in \left(1,x_0\right)$，恒有 $f\left(x\right)>k\left(x-1\right)$．标注答案$\left(-\infty,1\right)$解析通过研究函数单调性解决问题．由（2）知，当 $k=1$ 时，不存在 $x_0>1$ 满足题意．
当 $k>1$ 时，对于 $x>1$，有 $f\left(x\right)<x-1<k\left(x-1\right)$，则 $f\left(x\right)<k\left(x-1\right)$，从而不存在 $x_0>1$ 满足题意．
当 $k<1$ 时，今 $G\left(x\right)=f\left(x\right)-k\left(x-1\right)$，$x\in\left(0,+\infty\right)$，则有 $G'\left(x\right)=\dfrac 1x-x+1-k=\dfrac{-x^2+\left(1-k\right)x+1}x$．
由 $G'\left(x\right)=0$，得 $-x^2+\left(1-k\right)x+1=0$，解得\[x_1=\dfrac {1-k-\sqrt{\left(1-k\right)^2+4}}2<0,\\ x_2=\dfrac {1-k+\sqrt{\left(1-k\right)^2+4}}2>1 .\]当 $x\in\left(1,x_2\right)$ 时，$G'\left(x\right)>0$，故 $G\left(x\right)$ 在 $\left[1,x_2\right)$ 内单调递增．
从而当 $x\in\left(1,x_2\right)$ 时，$G\left(x\right)>G\left(1\right)=0$，即 $f\left(x\right)>k\left(x-1\right)$．
综上，$k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,1\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
