题目 已知函数 $f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - ax$（$a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $ -1 $． 问题1 求 $a$ 的值及函数 $f\left( x \right)$ 的极值； 答案1 $ a=2 $．<br/>当 $ x=\ln 2 $ 时，$ f\left(x\right) $ 有极小值 $ f\left(\ln 2\right) =2-\ln 4 $，无极大值． 解析1 根据导数的几何意义求出参数 $a$ 的值，并判断函数单调性，进而求出极值．由 $ f\left(x\right)={{\mathrm{e}}^{x}}-ax $，得\[ f'\left(x\right)={{\mathrm{e}}^{x}}-a. \]又 $ f'\left(0\right)=1-a=-1 $，得 $ a=2 $．<br/>所以\[\begin{split} f\left(x\right) & ={{\mathrm{e}}^{x}}-2x, \\ f'\left(x\right) & ={{\mathrm{e}}^{x}}-2.\end{split} \]令 $ f'\left(x\right)=0 $，得 $ x=\ln 2 $．<br/>当 $ x<\ln 2 $ 时，$ f'\left(x\right)<0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递减；<br/>当 $ x>\ln 2 $ 时，$ f'\left(x\right)>0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递增．<br/>所以当 $ x=\ln 2 $ 时，$ f\left(x\right) $ 有极小值，且极小值为\[ f\left(\ln 2\right) ={{{\mathrm{e}}}^{\ln 2}}-2\ln 2 =2-\ln 4 ,\]$ f\left(x\right) $ 无极大值． 备注1 问题2 证明：当 $x > 0$ 时，${x^2} < {{\mathrm{e}}^x}$； 答案2 略 解析2 构造新函数，求新函数的最值即可．令 $ g\left(x\right)={{\mathrm{e}}^{x}}-{{x}^{2}} $，则\[ g'\left(x\right)={{{\mathrm{e}}}^{x}}-2x. \]由（1）得，\[ g'\left(x\right) =f\left(x\right) \geqslant f\left(\ln 2\right) =2-\ln 4 >0 ,\]即 $ g'\left(x\right)>0 $．<br/>所以 $ g\left(x\right) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增，又 $ g\left(0\right)=1>0 $，所以当 $ x>0 $ 时，$ g\left(x\right)>g\left(0\right)>0 $．即 $ {{x}^{2}}<{{{\mathrm{e}}}^{x}} $． 备注2 问题3 证明：对任意给定的正数 $c$，总存在 ${x_0}$，使得当 $x \in \left( {{x_0} , + \infty } \right)$ 时，恒有 ${x^2} < c{{\mathrm{e}}^x}$． 答案3 略 解析3 根据第二问的结论进行适当的放缩是解决本题的关键．对任意给定的正数 $c$，取 ${x_0} = \dfrac{4}{\sqrt c }$，由（2）知，当 $x > 0$ 时，${x^2} < {{\mathrm{e}}^x}$，所以\[{{\mathrm{e}}^x} = {{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}} \cdot {{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}} > {\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \cdot {\left(\dfrac{x}{2}\right)^2},\]当 $x \in \left( {{x_0} , + \infty } \right)$ 时，\[{{\mathrm{e}}^x} > {\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \cdot {\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} > \dfrac{4}{c} \cdot {\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} = \dfrac{x^2}{c},\]因此对于给定的正数 $c$，总存在 ${x_0}$，使得当 $x \in \left( {{x_0} , + \infty } \right)$ 时，恒有 ${x^2} < c{{\mathrm{e}}^x}$． 备注3