已知函数 $f\left(x\right) = 2\cos x\left(\sin x + \cos x\right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（文）
【标注】
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求 $f\left(\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{4}\right)$ 的值；标注答案$2$．解析直接代入即可求出数值．因为\[\begin{split} f\left(x\right) & = 2\cos x\left(\sin x + \cos x\right) \\& = 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x \\& \overset{\left[a\right]}= \sin 2x + \cos 2x + 1 \\& \overset{\left[b\right]}= \sqrt 2 \sin \left(2x + \dfrac{\mathrm \pi} {4}\right) + 1, \end{split} \]（推导中用到[a]，[b]）
所以\[\begin{split}f\left(\dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{4}\right) = \sqrt 2 \sin \left(2 \times \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{4} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right) + 1 = 2.\end{split}\] -
求函数 $f\left(x\right)$ 的最小正周期及单调递增区间．标注答案周期为 ${\mathrm \pi} $；单调递增区间是 $\left[k{\mathrm \pi} - \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{8},k{\mathrm \pi} +\dfrac{\mathrm \pi} {8}\right],k \in {\mathbb{Z}}$．解析将函数化为正弦型函数，根据三角函数的性质即可解决问题．由（1）知\[ f\left(x\right) = \sqrt 2 \sin \left(2x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4}\right) + 1,\]所以周期$T = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{2} = {\mathrm \pi} $．
由 $2k {\mathrm \pi} - \dfrac{{\mathrm \pi} }{2} \leqslant 2x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{4} \leqslant 2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$，得\[k{\mathrm \pi} - \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{8} \leqslant x \leqslant k{\mathrm \pi} + \dfrac{{\mathrm \pi} }{8},k \in {\mathbb{Z}},\]所以 $f\left(x\right)$ 的单调增区间为 $\left[k{\mathrm \pi} - \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{8},k{\mathrm \pi} +\dfrac{\mathrm \pi} {8}\right],k \in {\mathbb{Z}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
