已知曲线 $\varGamma $ 上的点到点 $F\left(0,1\right)$ 的距离比它到直线 $y = - 3$ 的距离小 $ 2 $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求曲线 $\varGamma $ 的方程；标注答案$x^2=4y$．解析根据抛物线的定义即可．设 $S\left(x,y\right)$ 为曲线 $\varGamma $ 上任意一点，依题意，点 $S$ 到点 $F\left(0,1\right)$ 的距离与它到直线 $y = - 1$ 的距离相等，所以曲线 $\varGamma $ 是以 $F\left(0,1\right)$ 为焦点 $y = - 1$ 为准线的抛物线，方程为 ${x^2} = 4y$．
-
曲线 $\varGamma $ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$．直线 $y = 3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M$，$N$．以 $MN$ 为直径作圆 $C$，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$，试探究：当点 $P$ 在曲线 $\varGamma $ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $AB$ 的长度是否发生变化？证明你的结论．标注答案线段 $|AB|$ 的长度不变，恒为 $\sqrt6$．解析本小题考查直线与抛物线相切以及直线与圆相切，从抛物线上的点 $P$ 的坐标出发依次计算各个相关方程及几何量，不难得出结论．当点 $P$ 在曲线 $\varGamma $ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $AB$ 的长度不变化，证明如下：
由（1）知抛物线的方程为\[y = \dfrac{1}{4}{x^2},\]设 $P\left({x_0},{y_0}\right)\left({x_0} \ne 0\right)$，则 ${y_0} = \dfrac{1}{4}x_0^2$，再由 $y'=\dfrac12x$，得切线 $l$ 的斜率为 $k=\dfrac12x_0$，所以切线方程为\[y - {y_0} = \dfrac{1}{2}x_0^{}\left(x - {x_0}\right),\]整理，得\[y = \dfrac{1}{2}{x_0}x - \dfrac{1}{4}x_0^2.\]由\[ \begin{cases}
y = \dfrac{1}{2}{x_0}x - \dfrac{1}{4}x_0^2 ,\\
y = 0, \\
\end{cases} \]得 $A\left(\dfrac{1}{2}{x_0},0\right)$，由\[ \begin{cases}y = \dfrac{1}{2}{x_0}x - \dfrac{1}{4}x_0^2, \\
y = 3 ,\\
\end{cases}\]得 $M\left(\dfrac{1}{2}{x_0} + \dfrac{6}{x_0},3\right)$．
又因为 $N\left(0,3\right)$，所以圆心 $C\left(\dfrac{1}{4}{x_0} + \dfrac{3}{x_0},3\right)$，半径\[r = \dfrac{1}{2}|MN| = \left|\dfrac{1}{4}{x_0} + \dfrac{3}{x_0} \right|,\]因此，\[|AB| \overset{\left[a\right]}= \sqrt {A{C^2} - {r^2}} = \sqrt 6 ,\]（推导中用到[a]）
所以当点 $P$ 在曲线 $\varGamma $ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $|AB|$ 的长度不变．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
