题目 已知函数 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - ax$（$a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $ - 1$． 问题1 求 $a$ 的值及函数 $f\left(x\right)$ 的极值； 答案1 $ a=2 $．<br/>当 $ x=\ln 2 $ 时，$ f\left(x\right) $ 有极小值 $ f\left(\ln 2\right) =2-\ln 4 $，无极大值． 解析1 本题考查导数的几何意义，求出 $x=0$ 时的导数值即可．由 $ f\left(x\right)={{\mathrm{e}}^{x}}-ax $，得\[ f'\left(x\right)={{\mathrm{e}}^{x}}-a. \]又 $ f'\left(0\right)=1-a=-1 $，得 $ a=2 $．<br/>所以\[\begin{split} f\left(x\right) & ={{\mathrm{e}}^{x}}-2x, \\ f'\left(x\right) & ={{\mathrm{e}}^{x}}-2.\end{split} \]令 $ f'\left(x\right)=0 $，得 $ x=\ln 2 $．<br/>当 $ x<\ln 2 $ 时，$ f'\left(x\right)<0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递减；<br/>当 $ x>\ln 2 $ 时，$ f'\left(x\right)>0 $，$ f\left(x\right) $ 单调递增．<br/>所以当 $ x=\ln 2 $ 时，$ f\left(x\right) $ 有极小值，且极小值为\[ f\left(\ln 2\right) ={{{\mathrm{e}}}^{\ln 2}}-2\ln 2 =2-\ln 4 ,\]$ f\left(x\right) $ 无极大值． 备注1 问题2 证明：当 $x > 0$ 时，${x^2} < {{\mathrm{e}}^x}$； 答案2 略 解析2 构造函数，并求其最值即可．令 $ g\left(x\right)={{\mathrm{e}}^{x}}-{{x}^{2}} $，则\[ g'\left(x\right)={{{\mathrm{e}}}^{x}}-2x. \]由（1）得，\[ g'\left(x\right) =f\left(x\right) \geqslant f\left(\ln 2\right) =2-\ln 4 >0 ,\]即 $ g'\left(x\right)>0 $．<br/>所以 $ g\left(x\right) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增，又 $ g\left(0\right)=1>0 $，所以当 $ x>0 $ 时，$ g\left(x\right)>g\left(0\right)>0 $．即 $ {{x}^{2}}<{{{\mathrm{e}}}^{x}} $． 备注2 问题3 证明：对任意给定的正数 $ c $，总存在 ${x_0}$，使得当 $x \in \left({x_0}, + \infty \right)$ 时，恒有 $x < c{{\mathrm{e}}^x}$． 答案3 略 解析3 根据第二问结论直接证明．① 若 $c \geqslant 1$，取 ${x_0} = 0$，由（2）的证明过程知，\[{{\mathrm{e}}^x} > 2x,\]所以当 $x \in \left({x_0}, + \infty \right)$ 时，有\[c{{\mathrm{e}}^x} \geqslant {{\mathrm{e}}^x} > 2x > x,\]即 $x < c{{\mathrm{e}}^x}$；<br/>② 若 $0 < c < 1$，令 $h\left(x\right) = c{{\mathrm{e}}^x} - x$，则\[h'\left(x\right) = c{{\mathrm{e}}^x} - 1.\]令 $h'\left(x\right) = 0$，得\[x = \ln \dfrac{1}{c},\]当 $x > \ln \dfrac{1}{c}$ 时，$h'\left(x\right) > 0$，所以 $h\left(x\right)$ 单调递增．<br/>取 ${x_0} = 2\ln \dfrac{2}{c}$，\[\begin{split}h\left({x_0}\right) & = c{{\mathrm{e}}^{2\ln \frac{2}{c}}} - 2\ln \dfrac{2}{c} \\& = 2\left(\dfrac{2}{c} - \ln \dfrac{2}{c}\right),\end{split}\]易知\[\dfrac{2}{c} - \ln \dfrac{2}{c} > 0,\]又 $h\left(x\right)$ 在 $\left({x_0}, + \infty \right)$ 内单调递增，所以当 $x \in \left({x_0}, + \infty \right)$ 时，恒有\[h\left(x\right) > h\left({x_0}\right) > 0,\]即 $x < c{{\mathrm{e}}^x}$．<br/>综上，对任意给定的正数 $c$，总存在 ${x_0}$，当 $x \in \left({x_0}, + \infty \right)$ 时，恒有 $x < c{{\mathrm{e}}^x}$． 备注3