如图 $(1)$，在直角梯形 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，$\angle BAD=\dfrac {\mathrm \pi} {2}$，$AB=BC=\dfrac 12AD=a$，$E$ 是 $AD$ 的中点，$O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点．将 $\triangle ABE$ 沿 $BE$ 折起到图 $(2)$ 中 $\triangle A_1BE$ 的位置，得到四棱锥 $A_1-BCDE$．
【难度】
【出处】
2015年高考陕西卷（文）
【标注】
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证明：$CD\perp 平面A_1OC$；标注答案略解析注意折叠过程中 $BE$ 和 $AO,OC$ 的位置关系不变，然后通过证明 $BE\perp 面 AOC$ 来证明 $CD\perp 面 A_1OC$．在题图 $(1)$ 中，因为 $AB=BC=\dfrac 12AD=a$，$E$ 是 $AD$ 的中点，$\angle BAD=\dfrac {\mathrm \pi} {2}$，
所以 $BE\perp AC$．
即在题图 $(2)$ 中，$BE\perp A_1O$，$BE\perp OC$，
从而 $BE\perp 平面A_1OC$．
又 $CD \parallel BE$，
所以 $CD\perp 平面A_1OC$． -
若 $平面A_1BE\perp 平面BCDE$，四棱锥 $A_1-BCDE$ 的体积为 $36\sqrt 2$，求 $a$ 的值．标注答案$a=6$解析可由条件得知 $A_1O$ 为底面 $BCDE$ 上的高．然后利用棱锥体积公式计算即可．由已知，平面 $A_1BE\perp 平面BCDE$，且 $平面 A_1BE\cap 平面BCDE=BE$，
又由 $(1)$ 可得 $A_1O\perp BE$，
所以 $A_1O\perp 平面BCDE$．
即 $A_1O$ 是四棱锥$A_1-BCDE$ 的高．
由题图 $(1)$ 知，$A O=\dfrac {\sqrt 2}{2}AB=\dfrac {\sqrt 2}{2}a$，平行四边形 $BCDE$ 的面积 $S=BC\cdot AB=a^2$，
从而四棱锥 $A_1-BCDE$ 的体积为\[V=\dfrac 13S\cdot A_1O=\dfrac 13\times a^2\times \dfrac {\sqrt 2}{2}a=\dfrac {\sqrt 2}{6}a^3.\]由 $\dfrac {\sqrt 2}{6}a^3=36\sqrt 2$，得 $a=6$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
