$f'_n\left(2\right)=\left(n-1\right)2^n+1$．

可将 $f_n(x)$ 求导，并带入 $x=2$，然后用等比数列求和公式化简．当 $x\neq 1$ 时，$f_n\left(x\right)=\dfrac {x-x^{n+1}}{1-x}-1$，求导可得\[f'_n\left(x\right)=\dfrac {\left[1-\left(n+1\right)x^n\right]\left(1-x\right)+\left(x-x^{n+1}\right)}{\left(1-x\right)^2},\]于是\[f'_n\left(2\right)=\dfrac {-\left[1-\left(n+1\right)2^n\right]+2-2^{n+1}}{\left(1-2\right)^2}=\left(n-1\right)2^n+1.\]

略．

只要证明出 $f(0)f(\dfrac 23)<0$，且 $f(x)$ 在 $(0,\dfrac 23)$ 单调，就可说明 $f_n(x)$ 在 $(0,\dfrac 23)$ 内有且仅有一个零点．然后通过 $f(a_n)=0$ 得到关于 $a_n$ 的一个等式，继而通过 $\dfrac 12<a_n<\dfrac 23$ 进行放缩即可证得题中不等式．因为 $f_n\left(0\right)=-1<0$，\[f_n\left(\dfrac 23\right)=\dfrac {\dfrac 23\left[1-\left(\dfrac 23\right)^n\right]}{1-\dfrac 23}-1=1-2\times \left(\dfrac 23\right)^n\geqslant 1-2\times \left(\dfrac 23\right)^2>0,\]所以 $f_n\left(x\right)$ 在 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 内至少存在一个零点．
又 $f'_n\left(x\right)=1+2x+\cdots+nx^{n-1}>0$，
所以 $f_n\left(x\right)$ 在 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 内单调递增，
因此，$f_n\left(x\right)$ 在 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 内有且仅有一个零点 $a_n$．
由于 $f_n\left(x\right)=\dfrac {x-x^{n+1}}{1-x}-1$，
所以 $0=f_n\left(a_n\right)=\dfrac {a_n-a_n^{n+1}}{1-a_n}-1$，
由此可得 $a_n=\dfrac 12+\dfrac 12a_n^{n+1}>\dfrac 12$，故 $\dfrac 12<a_n<\dfrac 23$，
所以 $0<a_n-\dfrac 12=\dfrac 12a_n^{n+1}<\dfrac 12\times \left(\dfrac 23\right)^{n+1}=\dfrac 13\left(\dfrac 23\right)^n$．