如图，曲线 $C$ 由上半椭圆 ${C_1}:\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0,y \geqslant 0\right)$ 和部分抛物线 ${C_2}:y = - {x^2} + 1\left(y \leqslant 0\right) $ 连接而成，${C_1}$ 与 ${C_2}$ 的公共点为 $A$，$B$，其中 ${C_1}$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $a$，$b$ 的值；标注答案$a = 2$，$b = 1$．解析求出 $A,B$ 坐标，即得到了 $b$ 值，然后结合所给离心率求出 $a,b$．在 ${C_1}$，${C_2}$ 方程中，令 $y = 0$，可得 $ b=1$，且 $A\left( - 1,0\right)$，$B\left(1,0\right)$ 是上半椭圆 ${C_1}$ 的左右顶点．设 ${C_1}$ 的半焦距为 $c$，由 $\dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$及 ${a^2} - {c^2} = {b^2} = 1$，解得 $a = 2 $．所以 $a = 2$，$b = 1$．
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过点 $B$ 的直线 $l$ 与 ${C_1}$，${C_2}$ 分别交于点 $P$，$Q$（均异于点 $A$，$B$），若 $AP \perp AQ$，求直线 $l$ 的方程．标注答案$y=-\dfrac 83x+\dfrac 83$．解析设出 $PQ$ 斜率 $k$，继而表示出它的方程，分别和椭圆，抛物线联立求出 $P,Q$ 坐标，然后利用 $\overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {AQ}=0$ 解得 $k$ 值．由（1）知，上半椭圆 ${C_1}$ 的方程为\[\dfrac{y^2}{4} + {x^2} = 1\left(y \geqslant 0\right),\]易知，直线 $l$ 与 $x$ 轴不重合也不垂直，设其方程为 $y = k\left(x - 1\right)\left(k \ne 0\right)$，代入 ${C_1}$ 的方程中，整理得\[\left({k^2} + 4\right){x^2} - 2{k^2}x + {k^2} - 4 = 0. \quad \cdots \cdots ① \]设点 $P$ 的坐标为 $\left({x_P},{y_P}\right)$，由韦达定理得\[{x_P} + {x_B} = \dfrac{{2{k^2}}}{{{k^2} + 4}},\]又 $B\left(1,0\right)$，得\[{x_P} = \dfrac{{{k^2} - 4}}{{{k^2} + 4}},\]从而求得\[{y_P} = \dfrac{ - 8k}{{{k^2} + 4}},\]所以点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac{{{k^2} - 4}}{{{k^2} + 4}},\dfrac{ - 8k}{{{k^2} + 4}}\right)$．
同理，由\[\begin{cases}
{y = k\left(x - 1\right)\left(k \ne 0\right)} ,\\
{y = - {x^2} + 1\left(y \leqslant 0\right)}.
\end{cases}\]得点 $Q$ 的坐标为 $\left( - k - 1, - {k^2} - 2k\right)$，所以根据向量的坐标运算\[\overrightarrow {AP} = \dfrac{2k}{{{k^2} + 4}}\left(k,-4\right),\overrightarrow {AQ} = - k\left(1,k + 2\right),\]因为 $AP \perp AQ$，所以 $\overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {AQ} = 0$，即\[\dfrac{{ - 2{k^2}}}{{{k^2} + 4}}\left[k - 4\left(k + 2\right)\right] = 0,\]因为 $k \ne 0$，所以 $ k - 4\left(k + 2\right) = 0$，解得\[k = - \dfrac{8}{3},\]经检验，$k = - \dfrac{8}{3}$ 符合题意，故直线 $l$ 的方程为 $y = - \dfrac{8}{3}\left(x - 1\right)=-\dfrac 83x+\dfrac 83$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
