已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^{n+1}-2$，若 $\forall n\in\mathbb{N}^\ast$，$\lambda a_n\leqslant 4+S_{2n}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
由 $S_n=2^{n+1}-2$，得 $a_1=S_1=2^2-2=2$，当 $n\geq2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n+1}-2-(2^n-2)=2^n$，验证 $n=1$ 时，$a_n=2^n$，$\therefore a_n=2^n$，又 $S_n=2^{n+1}-2, ~\therefore S_{2n}=2^{2n+1}-2, ~\because \forall n\in N^{*}, ~\lambda a_n\leq4+S_{2n}$ 恒成立，$\therefore \lambda\leqslant\dfrac{4+S_{2n}}{a_n}=\dfrac{4+2^{2n+1}-2}{2^n}=2(2^n+\dfrac{1}{2^n})$，当 $n=1$ 时，$2(2^n+\dfrac{1}{2^n})$ 有最小值为 $5$，$\therefore \lambda\leq5$，则则实数λ的最大值是 $5$．
题目
答案
解析
备注
