如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^\circ $，$AB = \sqrt 3 $，$BC = 1$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$\angle BPC = 90^\circ $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $PB = \dfrac{1}{2}$，求 $PA$；标注答案$\dfrac{\sqrt 7 }{2}$解析本题考查余弦定理的应用．选择合适的三角形求解即可．由已知得 $\angle PBC = 60^\circ $，所以\[\angle PBA = 30^\circ .\]在 $\triangle PBA$ 中，由余弦定理得\[\begin{split}P{A^2} = 3 + \dfrac{1}{4} - 2 \times \sqrt 3 \times \dfrac{1}{2}\cos 30^\circ= \dfrac{7}{4},\end{split}\]故\[PA = \dfrac{\sqrt 7 }{2}.\]
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若 $\angle APB = 150^\circ $，求 $\tan \angle PBA$．标注答案$ \dfrac{\sqrt 3 }{4}$解析本题考查正弦定理的应用．设 $\angle PBA = \alpha $，由已知得\[PB = \sin \alpha .\]在 $\triangle PBA$ 中．由正弦定理得\[\dfrac{\sqrt 3 }{\sin 150^\circ } = \dfrac{\sin \alpha }{{\sin \left( {30^\circ - \alpha } \right)}},\]化简得\[\sqrt 3 \cos \alpha = 4\sin \alpha ,\]所以\[\tan \alpha = \dfrac{\sqrt 3 }{4},\]即\[\tan \angle PBA = \dfrac{\sqrt 3 }{4}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
