已知等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n}$ 满足 ${S_3} = 0,{S_5} = - 5$．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（文）
【标注】
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求 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = 2 - n$解析本题考查等差数列的通项公式和求和公式．要求等差数列的通项公式，只需根据题中条件求出 $a_1$ 和 $d$ 即可．设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，则\[{S_n} \overset{\left[a\right]}= n{a_1} + \dfrac{n \left(n - 1 \right)}{2}d.\]（推导中用到[a]）
由已知可得 ${\begin{cases}
3{a_1} + 3d = 0, \\
5{a_1} + 10d = - 5, \\
\end{cases}}$ 解得\[{\begin{cases}{a_1} = 1, \\
d = - 1. \\
\end{cases}}\]故 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = 2 - n$． -
求数列 $\left\{ {\dfrac{1}{{{a_{2n - 1}}{a_{2n + 1}}}}} \right\}$ 的前 $n$ 项和．标注答案$ \dfrac{n}{1 - 2n}$解析本题是典型的裂项法求数列和的问题．由（1）知\[\begin{split}\dfrac{1}{{{a_{2n - 1}}{a_{2n + 1}}}} &= \dfrac{1}{ \left(3 - 2n \right) \left(1 - 2n \right)} \\&= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2n - 3} - \dfrac{1}{2n - 1}} \right),\end{split}\]从而由裂项相消法得数列 $\left\{ {\dfrac{1}{{{a_{2n - 1}}{a_{2n + 1}}}}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为\[\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{ - 1} - \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{2n - 3} - \dfrac{1}{2n - 1}} \right) = \dfrac{n}{1 - 2n}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
