如图，三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，$CA = CB$，$ AB = A{A_1} $，$\angle BA{A_1} = 60^\circ $．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（文）
【标注】
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证明 $AB \perp {A_1}C$；标注答案证明略解析本题考查异面直线的垂直问题，借助线面垂直加以证明．如图，取 $AB$ 的中点 $O$，连接 $OC$，$ O{A_1} $，${A_1}B$．
因为 $CA = CB$，所以 $OC \perp AB$．
由于 $AB = A{A_1}$，$\angle BA{A_1} = 60^\circ $，故 $\triangle A{A_1}B$ 为等边三角形，所以 $O{A_1} \perp AB$．
因为 $OC \cap O{A_1} = O$，所以 $AB \perp $ 平面 $O{A_1}C$．
又 ${A_1}C \subset $ 平面 $O{A_1}C$，故 $AB \perp {A_1}C$． -
若 $AB = CB = 2$，${A_1}C = \sqrt 6 $，求三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 的体积．标注答案$ 3$解析本题考查三棱柱的体积计算公式．由题设知 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A{A_1}B$ 都是边长为 $ 2 $ 的等边三角形，所以\[OC = O{A_1} = \sqrt 3.\]又 ${A_1}C = \sqrt 6 $，则 ${A_1}{C^2} = O{C^2} + OA_1^2$，故 $O{A_1} \perp OC$．
因为 $OC \cap AB = O$，所以 $O{A_1} \perp $ 平面 $ABC$，$O{A_1}$ 为三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 的高．
又\[{S_{\triangle ABC}} = \sqrt 3,\]故三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 的体积\[V = {S_{\triangle ABC}} \cdot O{A_1} = 3.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
