已知函数 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x}\left(ax + b\right) - {x^2} - 4x$，曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程为 $y = 4x + 4$．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（文）
【标注】
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求 $a,b$ 的值；标注答案$a = 4,b = 4$解析本题考查利用导数研究曲线的切线问题．$f' \left(x \right) = {{\mathrm{e}}^x} \left(ax + a + b \right) - 2x - 4$．由已知得\[\begin{cases}f\left(0\right) = 4,\\f'\left(0\right) \overset{\left[a\right]}= 4,\end{cases}\]（推导中用到[a]）．故 $\begin{cases}b = 4,\\a + b = 8.\end{cases}$ 解得\[a = 4,b = 4.\]
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讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性，并求 $f\left(x\right)$ 的极大值．标注答案$f \left(x \right)$ 在 $ \left( - \infty,- 2 \right) , \left( - \ln 2,+ \infty \right)$ 上单调递增，在 $ \left( - 2,- \ln 2 \right)$ 上单调递减；
当 $x = - 2$ 时，函数 $f \left(x \right)$ 取得极大值，极大值为 $f \left( - 2 \right) = 4 \left(1 - {{\mathrm{e}}^{ - 2}} \right)$解析本题考查利用导数研究函数单调性的问题．导函数的正负决定原函数的增减．由（1）知，$f \left(x \right) = 4{{\mathrm{e}}^x}\left(x + 1\right) - {x^2} - 4x$，则\[f' \left(x \right) = 4{{ {\mathrm{e}} }^x}\left(x + 2\right) - 2x - 4 = 4\left(x + 2\right)\left( {{{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1}{2}} \right).\]令 $f'\left(x\right) = 0$，得\[x = - \ln 2 或 x = - 2.\]从而当 $x \in \left( - \infty,- 2 \right) \cup \left( - \ln 2,+ \infty \right)$ 时，$f' \left(x \right) > 0$；
当 $x \in \left( - 2,- \ln 2 \right)$ 时，$f' \left(x \right) < 0$．
故 $f \left(x \right)$ 在 $ \left( - \infty,- 2 \right) , \left( - \ln 2,+ \infty \right)$ 上单调递增，在 $ \left( - 2,- \ln 2 \right)$ 上单调递减．
当 $x = - 2$ 时，函数 $f \left(x \right)$ 取得极大值，极大值为\[f \left( - 2 \right) = 4 \left(1 - {{\mathrm{e}}^{ - 2}} \right).\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
