定义在 $ \left(-\infty,0\right)\cup \left(0,+\infty \right) $ 上的函数 $ f\left(x\right) $，如果对于任意给定的等比数列 $ \left\{a_n\right\}$，$\left\{f\left(a_n\right)\right\} $ 仍是等比数列，则称 $ f\left(x\right) $ 为保等比数列函数．现有定义在 $ \left(-\infty,0\right)\cup \left(0,+\infty \right) $ 上的如下函数：
① $ f\left(x\right)=x^2 $；
② $ f\left(x\right)=2^x $；
③ $ f\left(x\right)={\sqrt{|x|}} $；
④ $ f\left(x\right)=\ln|x| $．
则其中是"保等比数列函数"的 $ f\left(x\right) $ 的序号为 \((\qquad)\)
① $ f\left(x\right)=x^2 $；
② $ f\left(x\right)=2^x $；
③ $ f\left(x\right)={\sqrt{|x|}} $；
④ $ f\left(x\right)=\ln|x| $．
则其中是"保等比数列函数"的 $ f\left(x\right) $ 的序号为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 为保等比数列函数即对给定的任意非零实数 $k$，$ \dfrac{f(kx)}{f(x)} $ 是与 $ x $ 无关的定值．
对于 ①，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=k^2,\]于是 $ f(x)$ 是保等比数列函数．
对于 ②，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=2^{(k-1)x},\]于是 $f(x)$ 不是保等比数列函数．
对于 ③，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=\sqrt{|k|},\]于是 $f(x)$ 是保等比数列函数．
对于 ④，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=1+\dfrac{\ln |k|}{\ln |x|},\]于是 $f(x)$ 不是保等比数列函数．
对于 ①，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=k^2,\]于是 $ f(x)$ 是保等比数列函数．
对于 ②，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=2^{(k-1)x},\]于是 $f(x)$ 不是保等比数列函数．
对于 ③，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=\sqrt{|k|},\]于是 $f(x)$ 是保等比数列函数．
对于 ④，有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=1+\dfrac{\ln |k|}{\ln |x|},\]于是 $f(x)$ 不是保等比数列函数．
题目
答案
解析
备注
