题目 已知等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差不为零，${a_1} = 25$，且 ${a_1},{a_{11}},{a_{13}}$ 成等比数列． 问题1 求 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案1 ${a_n} = - 2n + 27$ 解析1 本题考查等差数列的基本量法求通项的相关知识．根据题中条件求出 $a_1$ 和 $d$ 即可．设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，由题意得 $a_{11}^2 = {a_1}{a_{13}}$，即\[{ \left({a_1} + 10d \right)^2} = {a_1} \left({a_1} + 12d \right).\]于是\[d \left(2{a_1} + 25d \right) = 0.\]又 ${a_1} = 25$，所以 $d = 0$（舍去）或 $d = - 2$．故 ${a_n} = - 2n + 27$． 备注1 问题2 求 ${a_1} + {a_4} + {a_7} + \cdot \cdot \cdot + {a_{3n - 2}}$． 答案2 $ - 3{n^2} + 28n$ 解析2 本题考查等差数列求和公式．令 ${S_n} = {a_1} + {a_4} + {a_7} + \cdot \cdot \cdot + {a_{3n - 2}}$．由（1）知\[{a_{3n - 2}} = - 6n + 31,\]故 $\left\{ {{a_{3n - 2}}} \right\}$ 是首项为 $ 25 $，公差为 $ - 6$ 的等差数列．从而\[\begin{split}{S_n} &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{n}{2} \left({a_1} + {a_{3n - 2}} \right) \\&= \dfrac{n}{2} \left( - 6n + 56 \right) \\&= - 3{n^2} + 28n.\end{split}\]（推导中用到[a]） 备注2