在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $P$ 在 $x$ 轴上截得线段长为 $2\sqrt 2 $，在 $y$ 轴上截得线段长为 $2\sqrt 3 $．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（文）
【标注】
-
求圆心 $P$ 的轨迹方程；标注答案${y^2} - {x^2} = 1$解析本题考查轨迹方程的求法．设 $P \left(x,y \right)$，圆 $P$ 的半径为 $r$．由直线与圆的位置关系得\[\begin{split}{y^2} + 2 &= {r^2}, \\ {x^2} + 3 &= {r^2},\end{split}\]从而\[{y^2} + 2 = {x^2} + 3.\]故 $P$ 点的轨迹方程为\[{y^2} - {x^2} = 1.\]
-
若 $P$ 点到直线 $y = x$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$，求圆 $P$ 的方程．标注答案${x^2} + { \left(y + 1 \right)^2} = 3 或 {x^2} + { \left(y - 1 \right)^2} = 3$解析本题考查直线和圆的方程相关问题，较为常规．设 $P \left({x_0},{y_0} \right)$，由点到直线的距离公式得\[\dfrac{{ \left|{x_0} - {y_0} \right|}}{\sqrt 2 } = \dfrac{\sqrt 2 }{2}.\]又 $P$ 点在双曲线 ${y^2} - {x^2} = 1$ 上，从而得\[{\begin{cases}
\left| {{x_0} - {y_0}} \right| = 1, \\
y_0^2 - x_0^2 = 1. \\
\end{cases}}\]由\[{\begin{cases}{x_0} - {y_0} = 1, \\
y_0^2 - x_0^2 = 1, \\
\end{cases}}\]得\[{\begin{cases}{x_0} = 0, \\
{y_0} = - 1. \\
\end{cases}}\]此时，由（1）知圆 $P$ 的半径\[r = \sqrt 3 ;\]由\[{\begin{cases}{x_0} - {y_0} = -1, \\
y_0^2 - x_0^2 = 1, \\
\end{cases}}\]得\[{\begin{cases}{x_0} = 0, \\
{y_0} = 1, \\
\end{cases}}\]此时，由（1）知圆 $P$ 的半径\[r = \sqrt 3 .\]故圆 $P$ 的方程为\[{x^2} + { \left(y + 1 \right)^2} = 3 或 {x^2} + { \left(y - 1 \right)^2} = 3.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
