题目 已知函数 $f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - {{\mathrm{e}}^{ - x}} - 2x$． 问题1 讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性； 答案1 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty , + \infty \right)$ 上单调递增 解析1 考查利用导函数研究函数的单调性，属于常规问题．对 $ f\left(x\right)$ 求导，并运用均值不等式得\[f'\left(x\right)= {{\mathrm{e}}^x} + {{\mathrm{e}}^{ - x}} - 2 \geqslant 0,\]等号仅当 $x = 0$ 时成立．所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty , + \infty \right)$ 上单调递增． 备注1 问题2 设 $g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) - 4bf\left( x \right)$，当 $x > 0$ 时，$g\left( x \right) > 0$，求 $b$ 的最大值； 答案2 $ 2 $ 解析2 通过分析端点的方式得到 $b$ 的讨论分界点，然后展开讨论即可．由题意得\[\begin{split}g\left(x\right) &= f\left(2x\right) - 4bf\left(x\right) \\& = {{\mathrm{e}}^{2x}} - {{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - 4b\left({\mathrm e^x} - {{\mathrm{e}}^{ - x}}\right) + \left(8b - 4\right)x, \end{split}\]\[\begin{split} g'\left(x\right)&= 2\left[ {{{\mathrm{e}}^{2x}} + {{\mathrm{e}}^{ - 2x}} - 2b\left({{\mathrm{e}}^x} + {{\mathrm{e}}^{ - x}}\right) + \left(4b - 2\right)} \right]\\&= 2\left({{\mathrm{e}}^x} + {{\mathrm{e}}^{ - x}} - 2\right)\left({{\mathrm{e}}^x} + {{\mathrm{e}}^{ - x}} - 2b + 2\right),\end{split}\]（i）当 $b \leqslant 2$ 时，$g'\left(x\right)\geqslant 0$，则 $g\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty , + \infty \right)$ 单调递增．<br/>而 $g\left(0\right) =0$，所以对任意 $x>0$，有 $g\left(x\right) > 0$；<br/>（ii）当 $b > 2$ 时，若 $x$ 满足\[2 < {{\mathrm{e}} ^x} + {{\mathrm{ e}} ^{ - x}} < 2b - 2,\]即 $0 < x < \ln \left(b - 1 + \sqrt {{b^2} - 2b} \right)$ 时，$g'\left(x\right) <0$．<br/>而 $g\left(0\right) =0$，因此当 $0 < x < \ln \left(b - 1 + \sqrt {{b^2} - 2b} \right)$ 时，$g\left(x\right) <0$．<br/>综上，$ b $ 的最大值为 $ 2 $． 备注2 问题3 已知 $1.4142 < \sqrt 2 < 1.4143$，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 $0.001$）． 答案3 $ 0.693 $ 解析3 需要在第 $\left(2\right)$ 小题讨论结果的基础上建立合适的不等式得到 $\ln 2$ 的上界和下界．其中突破取 $b=2$ 的思维定式，得到对 $\ln 2$ 的上界的估计是解决问题的关键．由（2）知\[g\left(\ln \sqrt 2 \right) = \dfrac{3}{2} - 2\sqrt 2 b + 2\left(2b - 1\right)\ln 2.\]当 $ b=2 $ 时，则\[\begin{split}&g\left(\ln \sqrt 2 \right) = \dfrac{3}{2} - 4\sqrt 2 + 6\ln 2 >0,\\&\ln 2> \dfrac{8\sqrt 2 - 3}{12} >0.6928;\end{split}\]当 $b = \dfrac{3\sqrt 2 }{4} + 1$ 时，则\[\begin{split}&\ln \left(b - 1 + \sqrt {{b^2} - 2b} \right) = \ln \sqrt 2, \\&<br/>g\left(\ln \sqrt 2 \right)= - \dfrac{3}{2} - 2\sqrt 2 + \left(3\sqrt 2 + 2\right)\ln 2<0,\\& \ln 2< \dfrac{18 + \sqrt 2 }{28} <0.6934,\end{split}\]所以 $\ln 2$ 的近似值为 $ 0.693 $． 备注3