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定义在 $ \left(-\infty,0\right)\cup \left(0,+\infty \right) $ 上的函数 $ f\left(x\right) $，如果对于任意给定的等比数列 $ \left\{a_n\right\}$，$\left\{f\left(a_n\right)\right\} $ 仍是等比数列，则称 $ f\left(x\right) $ 为保等比数列函数．现有定义在 $ \left(-\infty,0\right)\cup \left(0,+\infty \right) $ 上的如下函数中是"保等比数列函数"的 $ f\left(x\right) $ 有 \((\qquad)\)
A: $ f\left(x\right)=x^2 $
B: $ f\left(x\right)=2^x $
C: $ f\left(x\right)={\sqrt{|x|}} $
D: $ f\left(x\right)=\ln|x| $
【难度】
【出处】
2012年高考湖北卷（理）
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    信息迁移
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的定义与通项
【答案】
AC
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 为保等比数列函数即对给定的任意非零实数 $k$，$ \dfrac{f(kx)}{f(x)} $ 是与 $ x $ 无关的定值．
选项 A有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=k^2,\]于是 $ f(x)$ 是保等比数列函数．
选项 B有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=2^{(k-1)x},\]于是 $f(x)$ 不是保等比数列函数．
选项 C有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=\sqrt{|k|},\]于是 $f(x)$ 是保等比数列函数．
选项 D有\[\dfrac{f(kx)}{f(x)}=1+\dfrac{\ln |k|}{\ln |x|},\]于是 $f(x)$ 不是保等比数列函数．
题目 答案 解析 备注
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