设 ${F_1}$、${F_2}$ 分别是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$ 的左、右焦点，$M$ 是 $C$ 上一点且 $M{F_2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M{F_1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若直线 $MN$ 的斜率为 $\dfrac{3}{4}$，求 $C$ 的离心率；标注答案$\dfrac{1}{2}$解析本题结合条件求解离心率．设 $ M$ 为第一象限内的点．
根据 $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} $ 及题设知\[M\left(c,\dfrac{b^2}{a}\right),2{b^2} = 3ac,\]将 ${b^2} = {a^2} - {c^2}$ 代入 $2{b^2} = 3ac$，解得\[\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2},\dfrac{c}{a} = - 2 \left(舍去\right),\]故 $ C $ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$． -
若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$，且 $|MN| = 5|{F_1}N|$，求 $a$，$b$．标注答案$a = 7,b = 2\sqrt 7$解析本题是常规问题，根据已知条件构造相应的方程进行求解．由题意，原点 $O$ 为 ${F_1}{F_2}$ 的中点，$M{F_2}\parallel y$ 轴，所以直线 $M{F_1}$ 与 $y$ 轴的交点 $D\left(0,2\right)$ 是线段 $M{F_1}$ 的中点，故 $\dfrac{b^2}{a} = 4$，
即\[{b^2} = 4a. \quad \cdots \cdots ① \]由 $\left| {MN} \right| = 5\left| {{F_1}N} \right|$ 得\[\left| {D{F_1}} \right| = 2\left| {{F_1}N} \right|.\]即 $\overrightarrow{D{F_1}} = 2\overrightarrow{{F_1}N} $．设 $N\left({x_1},{y_1}\right)$，则由向量的坐标运算得\[{\begin{cases}2\left( c+ {x_1}\right) = -c, \\
2{y_1} = -2, \\
\end{cases}}\]即\[{\begin{cases}{x_1} = - \dfrac{3}{2}c, \\
{y_1} = - 1 ,\\
\end{cases}}\]代入 $ C $ 的方程，得\[\dfrac{{9{c^2}}}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{b^2} = 1. \quad \cdots \cdots ② \]将 $ ① $ 及 $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} $代入 $ ② $ 得\[\dfrac{{9\left({a^2} - 4a\right)}}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{4a} = 1,\]解得\[a = 7,{b^2} = 4a = 28,\]故\[a = 7,b = 2\sqrt 7.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
