$ a=1 $

本题考查导数的几何意义．$f' \left(x\right) = 3{x^2} - 6x + a $，$ f'\left(0\right) = a $．
曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $ \left(0,2\right) $ 处的切线方程为 $y = ax + 2$．
由题设得 $- \dfrac{2}{a} = - 2$，所以 $ a=1 $．

略

本题考查利用导数判断函数交点的问题．由（1）知\[f\left(x\right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 2,\]设\[ \begin{split}g\left(x\right) &= f\left(x\right) - kx + 2 \\&= {x^3} - 3{x^2} + \left(1 - k\right)x + 4. \end{split}\]由题设知 $1 - k> 0$．
当 $x \leqslant 0$ 时，$g'\left(x\right)= 3{x^2} - 6x + 1 - k > 0 $，$g\left(x\right)$ 单调递增，且\[g\left( - 1\right) = k - 1 <0,g\left(0\right) = 4,\]所以 $g\left(x\right) = 0 $ 在 $\left( { - \infty ,0} \right]$ 有唯一实根．
当 $x > 0$ 时，令 $h\left(x\right) = {x^3} - 3{x^2} + 4$，则\[\begin{split}g\left(x\right) & = h\left(x\right) + \left(1 - k\right)x > h\left(x\right). \\ h'\left(x\right) & = 3{x^2} - 6x = 3x\left(x - 2\right),\end{split}\]$h\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 单调递减，在 $\left(2, + \infty \right)$ 单调递增，所以\[g\left(x\right) > h\left(x\right) \overset{\left[a\right]}\geqslant h\left(2\right) = 0.\]（推导中用到[a]）
所以 $g\left(x\right) = 0$ 在 $\left(0, + \infty \right)$ 没有实根．
综上，$g\left(x\right) = 0 $ 在 $ {\mathbb {R}} $ 有唯一实根，即曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = kx - 2$ 只有一个交点．