$\dfrac{\sqrt 2 }{2}$

本题考查椭圆离心率的计算．设椭圆的右焦点 ${F_2}$ 的坐标为 $\left( {c,0} \right)$．由 $\left| {AB} \right| = \dfrac{\sqrt 3 }{2}\left| {{F_1}{F_2}} \right|$，可得\[{a^2} + {b^2} = 3{c^2},\]又 ${b^2} = {a^2} - {c^2}$，则\[\dfrac{c^2}{a^2} = \dfrac{1}{2},\]所以，椭圆的离心率\[{e} = \dfrac{\sqrt 2 }{2}.\]

$4 + \sqrt {15} $ 或 $4 - \sqrt {15} $

本题考查直线斜率的计算，结合已知条件，构造关于斜率的方程进行求解．由（1）知\[{a^2} = 2{c^2},{b^2} = {c^2},\]故椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{{2{c^2}}} + \dfrac{y^2}{c^2} = 1,\]设 $P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，由 ${F_1}\left( { - c,0} \right),B\left( {0,c} \right)$，有\[\begin{split}\overrightarrow {{F_1}P} &= \left( {{x_0} + c,{y_0}} \right),\\ \overrightarrow {{F_1}B} &= \left( {c,c} \right),\end{split}\]由已知和平面向量的数量积，得\[\overrightarrow {{F_1}P} \cdot \overrightarrow {{F_1}B} = 0,\]即\[\left( {{x_0} + c} \right)c + {y_0}c = 0,\]又 $c \ne 0$，故有\[{x_0} + {y_0} + c = 0, \quad \cdots \cdots ① \]又因为点 $P$ 在椭圆上，故\[\dfrac{x_0^2}{{2{c^2}}} + \dfrac{y_0^2}{c^2} = 1, \quad \cdots \cdots ② \]由 ① 和 ② 可得\[3x_0^2 + 4c{x_0} = 0,\]而点 $P$ 不是椭圆的顶点，故 ${x_0} = - \dfrac{4c}{3}$，代入 ① 得 ${y_0} = \dfrac{c}{3}$，
即点 $P$ 的坐标为 $\left( { - \dfrac{4c}{3},\dfrac{c}{3}} \right)$，
设圆的圆心为 $T\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，则由中点坐标公式得\[\begin{split}{x_1} &= \dfrac{{ - \dfrac{4}{3}c + 0}}{2} = - \dfrac{2}{3}c,\\ {y_1} &= \dfrac{{\dfrac{c}{3} + c}}{2} = \dfrac{2}{3}c,\end{split}\]进而圆的半径\[r \overset{\left[a\right]}= \sqrt {{{\left( {{x_1} - 0} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - c} \right)}^2}} = \dfrac{\sqrt 5 }{3}c,\]（推导中用到[a]）．
设直线 $l$ 的斜率为 $k$，依题意，直线 $l$ 的方程为 $y = kx$．由 $l$ 与圆相切及点到直线的距离公式，可得\[\dfrac{{\left| {k{x_1} - {y_1}} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = r,\]即\[\dfrac{{\left| {k\left( { - \dfrac{2c}{3}} \right) - \dfrac{2c}{3}} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = \dfrac{\sqrt 5 }{3}c,\]整理得\[{k^2} - 8k + 1 = 0,\]解得\[k = 4 \pm \sqrt {15}, \]所以，直线 $l$ 的斜率为 $4 + \sqrt {15} $ 或 $4 - \sqrt {15} $．