在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $a - c = \dfrac{\sqrt 6 }{6}b $，$ \sin B = \sqrt 6 \sin C$．
【难度】
【出处】
2014年高考天津卷（文）
【标注】
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求 $\cos A$ 的值；标注答案$\dfrac{\sqrt 6 }{4} $解析求角 $A$ 的余弦值，根据已知条件有边的关系，故可以用余弦定理来求．在 $ \triangle ABC$ 中，由 $\dfrac{b}{\sin B }=\dfrac{c}{\sin C } $，及 $ \sin B = \sqrt 6 \sin C$，
可得 $b = \sqrt 6 c $，又由 $a - c = \dfrac{\sqrt 6 }{6}b $，得 $a=2c $，所以\[ \begin{split}\cos A & \overset{\left[a\right]}= \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2bc} \\& = \dfrac{{ 6{c^2} + {c^2}- 4{c^2} }}{{2\sqrt 6 {c^2}}} \\& = \dfrac{\sqrt 6 }{4} .\end{split}\]（推导中用到[a]） -
求 $\cos \left(2A - \dfrac{{\mathrm \pi} }{6}\right)$ 的值．标注答案$\dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 3 }}{8}$解析本题是三角变换求值问题，由第一问，然后三角恒等变换公式，即可将问题解决．因为 $ {\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1$，$\cos A = \dfrac{\sqrt 6 }{4}$，又 $ A \in \left(0,{\mathrm \pi} \right)$，
所以 $\sin A = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}$．于是\[\begin{split}\sin 2A &\overset{\left[a\right]}= 2\sin A \cdot \cos A = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4},\\ \cos 2A &\overset{\left[a\right]}= 1 - 2{\sin ^2}A = - \dfrac{1}{4},\end{split}\]（推导中用到[a]）．
所以\[\begin{split}\cos \left(2A - \dfrac{{\mathrm \pi} }{6}\right) &\overset{\left[b\right]}= - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\sqrt 3 }{2} + \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 3 }}{8}.\end{split}\]（推导中用到[b]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
