略

本题考查线面平行判定定理．如图，取 $PB$ 中点 $M$，连接 $FM$，因为 $F$ 为 $PC$ 中点，所以 $ FM $ 为 $ \triangle PBC $ 的中位线，
所以 $ FM \parallel BC \parallel AE $ 且 $FM = \dfrac{1}{2}BC = AE$，
所以四边形 $ EFMA $ 为平行四边形，$EF \parallel AM $．
因为 $ EF \not\subset $ 平面 $ PAB $，$ AM \subset $ 平面 $ PAB $，所以 $ EF \parallel $ 平面 $PAB$．

① 略；
② $ \dfrac{2\sqrt{11}}{11} $

本题考查面面垂直判定定理以及线面角的计算．① 连接 $ PE,BE $．
因为 $ PA=PD$，$BA=BD $，而 $ E $ 为 $ AD $ 中点，故 $ PE\perp AD$，$BE\perp AD $，所以 $ \angle PEB $ 为二面角 $ P-AD-B $ 的平面角．
在 $\triangle PAD $ 中，由\[AD = 2,PA = PD = \sqrt 5 ,\]可解得\[ PE=2 .\]$\triangle ABD $ 中，由\[BA = BD = \sqrt 2 ,\]可解得\[ BE=1.\]在三角形 $ PEB $ 中，$ PE=2 $，$BE=1$，$\angle PEB={{60}^{\circ }} $，由余弦定理，可解得\[ PB=\sqrt{3},\]从而 $ \angle PBE={{90}^{\circ }} $，即 $ BE\perp PB $，
又 $ BC\parallel AD$，$BE\perp AD $，从而 $ BE\perp BC $，因此 $ BE\perp $ 平面 $ PBC $．
又 $ BE\subset $ 平面 $ ABCD $，所以平面 $ PBC\perp $ 平面 $ ABCD $；
② 连接 $ BF $，由 ① 知 $ BE\perp $ 平面 $ PBC $．
所以 $ \angle EFB $ 为直线 $ EF $ 与平面 $ PBC $ 所成的角，由\[ PB=\sqrt{3},PA=\sqrt{5},AB=\sqrt{2} ,\]得 $ \angle ABP $ 为直角，而\[ MB=\frac{1}{2}PB=\frac{\sqrt{3}}{2} ,\]可得 $ AM=\dfrac{\sqrt{11}}{2} $，故 $ EF=\dfrac{\sqrt{11}}{2} $．又 $ BE=1 $，故在 ${\mathrm{Rt}} \triangle EBF $ 中，可得\[ \sin \angle EFB=\frac{BE}{EF}=\frac{2\sqrt{11}}{11} .\]所以，直线 $ EF $ 与平面 $ PBC $ 所成角的正弦值为 $ \dfrac{2\sqrt{11}}{11} $．