$\dfrac{\sqrt 2}{2}$

本题考查离心率的计算．设椭圆右焦点 $ F_2$ 的坐标为 $ \left(c,0\right)$．
由 $ |AB|=\dfrac{\sqrt 3}{2}|F_1F_2|$，可得 $a^2+b^2=3c^2 $．
又 $b^2=a^2-c^2 $，则 $\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac 1 2 $．
所以椭圆的离心率为 $ e=\dfrac{\sqrt 2}{2}$．

$\dfrac {x^2} 6 +\dfrac {y^2} 3 =1$

求解椭圆的方程，需要建立等量关系列方程求解．题中有两个重要条件，一是以线段 $PB$ 为直径的圆经过 $F_1$，二是切线长为 $2\sqrt 2$．条件一可由直径所对的圆周角为直角，将复杂的问题转化为向量的数量积即可．条件二可利用圆与直线相切的知识列出关系式．问题即可解决．由（1）知，$a^2=2c^2 $，$b^2=c^2 $，故椭圆方程为\[ \dfrac{x^2}{2c^2}+\dfrac{y^2}{c^2}=1.\]设 $P\left(x_0,y_0\right) $，由 $F_1\left(-c,0\right) $，$B\left(0,c\right) $，由向量的坐标表示与运算得\[\overrightarrow {F_1P}=\left(x_0+c,y_0\right),\overrightarrow {F_1B}=\left(c,c\right). \]及\[\overrightarrow {F_1P}\cdot\overrightarrow {F_1B}=0, \]即\[\left(x_0+c\right)c+y_0c=0. \]又 $ c\ne 0$，故有\[ x_0+y_0+c=0. \quad \cdots \cdots ① \]因为点 $ P$ 在椭圆上，故\[\dfrac{x_0^2}{2c^2}+\dfrac{y_0^2}{c^2}=1. \quad \cdots \cdots ② \]由 $ ① $ 和 $ ② $ 可得\[3x_0^2+4cx_0=0 .\]而点 $ P$ 不是椭圆的顶点，故\[x_0=-\dfrac 4 3 c ,\]代入 $ ① $ 得 $y_0=\dfrac c 3 $，即点 $P $ 的坐标为 $ \left(-\dfrac {4c} 3 ,\dfrac c 3 \right)$．
设圆的圆心为 $T\left(x_1,y_1\right) $，则由中点坐标公式得\[ x_1=\dfrac{-\dfrac 4 3 c+0}{2}=-\dfrac 2 3 c,y_1=\dfrac{\dfrac c 3 +c}{2}=\dfrac 2 3 c,\]进而圆的半径\[ r\overset{\left[a\right]}=\sqrt{\left(x_1-0\right)^2+\left(y_1-c\right)^2}=\dfrac {\sqrt5} 3 c.\]（推导中用到[a]）．
由已知，有\[|TF_2|^2=|MF_2|^2+r^2 ,\]又 $ \left|MF_2 \right|= 2\sqrt 2 $，故有\[\left(c+\dfrac 2 3 c\right)^2+\left(0-\dfrac 2 3 c\right)^2=8+\dfrac 5 9 c^2 ,\]解得\[c^2=3. \]所以所求椭圆的方程为\[\dfrac {x^2} 6 +\dfrac {y^2} 3 =1 .\]