单调递减区间为 $ \left( - \infty ,0\right)$，$ \left(\dfrac{1}{a}, + \infty \right) $；单调递增区间为 $\left(0,\dfrac{1}{a}\right)$；
当 $ x = 0 $ 时，$ f\left(x\right) $ 的极小值为 $ 0 $；当 $ x = \dfrac{1}{a} $ 时，$ f\left(x\right) $ 取得极大值 $\dfrac{1}{{3{a^2}}}$．

本题考查利用导数研究函数单调性和极值的问题，由于题中给定了 $a>0$ 的范围，所以不需要分类讨论，相对简单．函数 $f\left(x\right) $ 的导数为 $f'\left(x\right) = 2x - 2a{x^2}$．令 $ f'\left(x\right) = 0 $，则\[x = 0 或 x = \dfrac{1}{a}.\]因为 $ a > 0$，所以 $ f\left(x\right),f'\left(x\right) $ 随 $ x $ 变化情况如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & \left(- \infty ,0\right) & 0 & \left(0, \frac 1 a\right) & \frac 1 a & \left(\frac 1 a ,+ \infty\right) \\ \hline
f'\left(x\right) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline
f\left(x\right) & 单调递减 & 极小值0 & 单调递增 & 极大值 \frac{1}{3{a^2}} & 单调递减 \\ \hline \end{array}\]由表得 $ f\left(x\right) $ 的单调递减区间为 $ \left( - \infty ,0\right)$，$ \left(\dfrac{1}{a}, + \infty \right) $；单调递增区间为 $\left(0,\dfrac{1}{a}\right)$．
当 $ x = 0 $ 时，$ f\left(x\right) $ 取得极小值为 $ 0 $；
当 $ x = \dfrac{1}{a} $ 时，$ f\left(x\right) $ 取得极大值 $\dfrac{1}{{3{a^2}}}$．

$ \left[\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{2}\right] $

本题中条件有两个量词，对这两个量词的正确理解是做题的关键．“任意的 ${x_1} \in \left(2, + \infty \right)$，都存在 ${x_2} \in \left(1, + \infty \right)$，使得 $f\left({x_1}\right) \cdot f\left({x_2}\right) = 1$”，这就要求 $f(x_1)\ne 0$，又因为函数在 $(2,+\infty)$ 上连续，故 $f(x_1)<0(x_1\in (2,+\infty))$．存在 $f(x_2)=\dfrac{1}{f(x_1)}$，所以要求它们的值域有包含关系．由 $ f\left(0\right)=f\left(\dfrac{3}{2a}\right)=0 $ 及（1）知，当 $x\in\left(0,\dfrac{3}{2a}\right) $ 时，$ f\left(x\right)>0 $；
当 $ x\in \left(\dfrac{3}{2a},+\infty \right) $ 时，$ f\left(x\right)<0$．
设集合 $ A=\left\{f\left(x\right) \left| \right.x\in \left(2,+\infty \right)\right\} $，集合 $ B=\left\{\left.\dfrac{1}{f\left(x\right)} \right |x\in\left(1,+\infty \right),f\left(x\right)\ne 0 \right\}$，
则对于任意的 $ x_1\in \left(2,+\infty \right) $，都存在 $ x_2\in\left(1,+\infty\right)$，使得 $ f\left(x_1\right) \cdot f\left(x_2\right)=1 $，等价于 $ A\subseteq B $．显然 $ 0\notin B $．
下面分三种情况讨论：
1）当 $ \dfrac{3}{2a}>2 $，即 $ 0<a<\dfrac{3}{4}$ 时，由 $ f\left(\dfrac{3}{2a}\right)=0 $ 可知，$ 0\in A $，而 $ 0\notin B $，所以 $ A $ 不是 $ B $ 的子集；
2）当 $ 1\leqslant \dfrac{3}{2a}\leqslant 2 $，即 $\dfrac{3}{4}\leqslant a\leqslant \dfrac{3}{2}$ 时，$ f\left(2\right)\leqslant 0 $，且 $ f\left(x\right)$ 在 $ \left(2,+\infty \right) $ 上单调递减，
故 $ A=\left(-\infty ,f\left(2\right)\right) $，所以 $ A\subseteq\left(-\infty ,0\right) $；
由 $ f\left(1\right)\geqslant 0 $，有 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(1,+\infty \right) $ 上的取值范围包含 $ \left(-\infty ,0\right) $，即 $ \left(-\infty ,0\right)\subseteq B $，所以 $ A\subseteq B $；
3）当 $\dfrac{3}{2a} <1 $，即 $ a>\dfrac{3}{2}$ 时，有 $ f\left(1\right)<0 $，且 $ f\left(x\right)$ 在 $ \left(1,+\infty \right) $ 上单调递减，故 $ B=\left(\dfrac{1}{f\left(1\right)},0\right)$，$A=\left(-\infty ,f\left(2\right)\right) $，所以 $ A $ 不是 $ B $ 的子集．
综上，$ a $ 的取值范围是 $ \left[\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{2}\right] $．