已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于 $ 1 $ 的自然数．设集合 $M = \left\{ {0,1,2, \cdots ,q - 1} \right\}$，集合 $A = \left\{ {x \left| \right. {x = {x_1} + {x_2}q + \cdots + {x_n}{q^{n - 1}},{x_i} \in M,i = 1,2, \cdots ,n} } \right\}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $q = 2$，$n = 3$ 时，用列举法表示集合 $A$；标注答案$A = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7} \right\}$解析本题考查对条件的理解与分析能力．当 $q = 2$，$n = 3$ 时，$ M = \left\{ {0,1} \right\} $，于是\[ A = \left\{ {x\left|\right. {x = {x_1} + 2{x_2} + 4{x_3},{x_i} \in M,i = 1,2,3} } \right\},\]可得 $A = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7} \right\}$．
-
设 $s , t \in A$，$s = {a_1} + {a_2}q + \cdots + {a_n}{q^{n - 1}}$，$t = {b_1} + {b_2}q + \cdots + {b_n}{q^{n - 1}}$，其中 ${a_i} , {b_i} \in M $，$i = 1 , 2 , \cdots , n$．证明：若 ${a_n} < {b_n}$，则 $s < t$．标注答案略解析本题考查利用比较法证明不等式成立的问题，作差比较后，可适当放缩为可求和数列来进行证明．由 $ s , t \in A$，$ s = {a_1} + {a_2}q + \cdots + {a_n}{q^{n - 1}}$，$ t = {b_1} + {b_2}q + \cdots + {b_n}{q^{n - 1}} $，$ {a_i}, {b_i} \in M$，$ i = 1 , 2 , \cdots , n $ 及 ${a_n} < {b_n}$，作差可得\[\begin{split}s - t &= \left( {{a_1} - {b_1}} \right) + \left( {{a_2} - {b_2}} \right)q + \cdots + \left( {{a_n} - {b_n}} \right){q^{n - 1}} \\& \leqslant \left( {q - 1} \right) + \left( {q - 1} \right)q + \cdots + \left( {q - 1} \right){q^{n - 2}} - {q^{n - 1}}\\& \overset{\left[a\right]}= \dfrac{{\left( {q - 1} \right)\left( {1 - {q^{n - 1}}} \right)}}{1 - q} - {q^{n - 1}} \\&= - 1 < 0,\end{split}\]（推导中用到[a]）．
所以 $s < t$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
