随机将 $1,2,\cdots ,2n$ $\left(n \in {\mathbb{N}}^* , n \geqslant 2\right) $ 这 $ 2n $ 个连续正整数分成 $ A$，$B $ 两组，每组 $ n $ 个数，$ A $ 组最小数为 $ a_1$，最大数为 $a_2 $；$ B $ 组最小数为 $b_1 $，最大数为 ${b_2}$，记 $\xi = {a_2} - {a_1}$，$\eta = {b_2} - {b_1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $n=3 $ 时，求 $\xi $ 的分布列和数学期望；标注答案分布列略；数学期望为 $\dfrac{7}{2}$解析直接计算即可．$\xi = 2,3,4,5$．\[\begin{split}P\left(\xi = 2\right) &= \dfrac{4}{{{\mathrm{C}}_6^3}} = \dfrac{1}{5} , \\ P\left(\xi = 3\right) &= \dfrac{6}{{{\mathrm{C}}_6^3}} = \dfrac{3}{10} , \\ P\left(\xi = 4\right) &= \dfrac{6}{{{\mathrm{C}}_6^3}} = \dfrac{3}{10} , \\ P\left(\xi = 5\right) &= \dfrac{4}{{{\mathrm{C}}_6^3}} = \dfrac{1}{5}.\end{split}\]分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \xi & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P & \frac{1}{5} & \frac{3}{10} & \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \hline \end{array} \]数学期望为\[ E\left(\xi \right) = 2 \times \dfrac{1}{5} + 3 \times \dfrac{3}{10} + 4 \times \dfrac{3}{10} + 5 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{2}.\]
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令 $ C $ 表示事件 " $\xi $ 与 $\eta$ 的取值恰好相等"，求事件 $ C $ 发生的概率 $P\left(C\right)$；标注答案$P\left(C\right) = \begin{cases} \dfrac{2}{3},&n=2\\\dfrac{{2\left(1 + 1 + {\mathrm{C}}_2^1 + {\mathrm{C}}_4^2 + \cdots+ {\mathrm{C}}_{2n - 4}^{n - 2}\right)}}{{{\mathrm{C}}_{2n}^n}} ,&n\geqslant 3\end{cases}$解析本题可以通过归纳的方式，寻找规律．当 $\xi = \eta = n - 1$ 时，$ 2 $ 种；
当 $\xi = \eta = n$ 时，$ 2 $ 种；
当 $\xi = \eta = n + 1$ 时，$2 \times {\mathrm{C}}_2^1$ 种；
当 $\xi = \eta = n + 2$ 时，$2 \times {\mathrm{C}}_4^2$ 种；
$ \vdots $
当 $\xi = \eta = 2n - 2$ 时，$2 \times {\mathrm{C}}_{2n - 4}^{n - 2}$ 种，
所以 当 $n = 2$ 时，\[P\left(C\right) \overset{\left[a\right]}= \dfrac{2 \times 2}{{{\mathrm{C}}_4^2}} = \dfrac{2}{3},\]当 $ n \geqslant 3 $ 时，\[ P\left(C\right) \overset{\left[a\right]}= \dfrac{{2\left(1 + 1 + {\mathrm{C}}_2^1 + {\mathrm{C}}_4^2 + \cdots+ {\mathrm{C}}_{2n - 4}^{n - 2}\right)}}{{{\mathrm{C}}_{2n}^n}} .\]（推导中用到[a]） -
对（2）中的事件 $ C $，$\overline {C}$ 表示 $ C $ 的对立事件，判断 $P\left(C\right)$ 和 $P\left(\overline C\right)$ 的大小关系，并说明理由．标注答案解析本题考虑数学归纳法结合组合数性质来进行证明．只需比较 $P\left(C\right)$ 与 $\dfrac{1}{2}$ 的大小．
下面证明：当 $n \geqslant 3$ 时，$P\left(C\right) < P\left(\overline {C}\right)$
当 $n = 3$ 时，\[P\left(C\right) =\dfrac {2}{5} < \dfrac{1}{2}\]成立；
设 $n = k$ 时，\[P\left(C\right) = \dfrac{{2\left(1 + 1 + {\mathrm{C}}_2^1 + {\mathrm{C}}_4^2 + \cdots +{\mathrm{C}}_{2k - 4}^{k - 2}\right)}}{{{\mathrm{C}}_{2k}^k}} < \dfrac{1}{2}\]成立；
当 $n = k + 1$ 时，证明：\[P\left(C\right) = \dfrac{{2\left(1 + 1 + {\mathrm{C}}_2^1 + {\mathrm{C}}_4^2 + \cdots +{\mathrm{C}}_{2k - 2}^{k - 1}\right)}}{{{\mathrm{C}}_{2k + 2}^{k + 1}}} < \dfrac{1}{2},\]即证\[4\left(1 + 1 + {\mathrm{C}}_2^1 + {\mathrm{C}}_4^2 + \cdots +{\mathrm{C}}_{2k - 2}^{k - 1}\right) < {\mathrm{C}}_{2k + 2}^{k + 1},\]即证\[\begin{split}4\left(1 + 1 + {\mathrm{C}}_2^1 + {\mathrm{C}}_4^2 + \cdots +{\mathrm{C}}_{2k - 2}^{k - 1}\right) &\overset{\left[a\right]}< {\mathrm{C}}_{2k}^k + 4{\mathrm{C}}_{2k - 2}^{k - 1} \\&< {\mathrm{C}}_{2k{ + }2}^{k{ + }1},\end{split}\]（推导中用到[a]）
即证\[\dfrac{\left(2k\right)!}{k! \cdot k!} + 4\dfrac{{\left( {2k - 2} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)! \cdot \left( {k - 1} \right)!}} < \dfrac{{\left( {2k + 2} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)! \cdot \left( {k + 1} \right)!}},\]即证\[4{k^2} - 3k - 1 > 0,\]而 $k > 3$ 时 $4{k^2} - 3k - 1 > 0$ 恒成立，故得证．即 $n \geqslant 3$ 时，$P\left(C\right) < P\left(\overline {C}\right)$，
综上，当 $n = 2$ 时，$P\left(C\right) > P\left(\overline {C}\right)$，$n \geqslant 3$ 时，$P\left(C\right) < P\left(\overline {C}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
