$ a = - 1$；$\theta = \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$

解决本小问的关键条件有两个，一是 $f(x)$ 是奇函数，二是 $f\left(\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)=0$．利用这两个条件，分别列出等式，求解．由题设知\[\begin{split}f\left( {\dfrac{{\mathrm \pi} }{4}} \right) & = \left( {a + 1} \right)\cos \left( {\dfrac{{\mathrm \pi} }{2} + \theta } \right) \\&\overset{\left[a\right]}= - \left( {a + 1} \right)\sin \theta \\&= 0.\end{split}\]（推导中用到[a]）．
因为 $\theta \in \left( {0 , {\mathrm \pi} } \right)$，所以 $\sin \theta \ne 0$，则\[a + 1 = 0, a = - 1.\]因为函数 $f\left( x \right) = \left( {a + 2{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {2x + \theta } \right)$ 为奇函数，所以\[ f\left( 0 \right) = \left( {a + 2} \right)\cos \theta = \cos \theta = 0,\]又 $\theta \in \left( {0 , {\mathrm \pi} } \right)$，所以 $\theta = \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$．
此时 $f\left(x\right)=\left(a+2\cos^2x\right)\left(-\sin{2x}\right)$ 确实是奇函数，故 $\theta = \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$．

$\dfrac{4 - 3\sqrt 3 }{10}$

要求的值是由题中条件计算得出的，故需先表达 $f\left(\dfrac{\alpha}{4}\right)$，由此式，再利用和差角公式，进而求解．由（1）得\[\begin{split}f\left( x \right) & = \left( { - 1 + 2{{\cos }^2}x} \right)\cos \left( {2x + \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}} \right) \\&\overset{\left[a\right]} =-\left( { - 1 + 2{{\cos }^2}x} \right)\cdot \sin 2x \\& \overset{\left[b\right]}= - \cos 2x \cdot \sin 2x \\&\overset{\left[b\right]} = - \dfrac{1}{2}\sin 4x.\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）．
因为\[f\left( {\dfrac{\alpha }{4}} \right) = - \dfrac{1}{2}\sin \alpha = - \dfrac{2}{5},\]所以 $\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$．因为 $\alpha \in \left( {\dfrac{{\mathrm \pi} }{2} , {\mathrm \pi} } \right)$，所以 $ \cos \alpha = - \dfrac{3}{5}$．所以\[\begin{split} \sin \left( {\alpha + \dfrac{{\mathrm \pi} }{3}} \right) & \overset{\left[a\right]}= \sin \alpha \cos \dfrac{{\mathrm \pi} }{3} + \cos \alpha \sin \dfrac{{\mathrm \pi} }{3} \\& = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{5} \times \dfrac{\sqrt 3 }{2} \\& = \dfrac{4 - 3\sqrt 3 }{10}.\end{split}\]（推导中用到[a]）