已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n} = \dfrac{{3{n^2} - n}}{2} , n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = 3n - 2$解析本题考查求通项公式，由题中条件可知，用通项与前 $n$ 项和的关系求通项的方法求解．由通项与前 $n$ 项和的关系求解：
当 $n = 1$ 时，\[{a_1} = {S_1} = 1;\]当 $n \geqslant 2$ 时，\[\begin{split}{a_n} & = {S_n} - {S_{n - 1}} \\& = \dfrac{{3{n^2} - n}}{2} - \dfrac{{3{{\left( {n - 1} \right)}^2} - n + 1}}{2} \\& = 3n - 2.\end{split}\]检验，当 $n = 1$ 时，${a_1} = 1$，所以\[{a_n} = 3n - 2.\] -
证明：对任意 $n > 1$，都有 $m \in {{\mathbb{N}}^ * }$，使得 ${a_1}$，$ {a_n} $，${a_m}$ 成等比数列．标注答案略解析此题是等比数列的证明问题，按照等比数列的定义证明即可．使 ${a_1}$，$ {a_n} $，${a_m}$ 成等比数列，则\[a_n^2 = {a_1}{a_m},\]所以\[ {\left( {3n - 2} \right)^2} = 3m - 2 ,\]即满足\[3m = {\left( {3n - 2} \right)^2} + 2 = 9{n^2} - 12n + 6,\]所以\[m = 3{n^2} - 4n + 2,\]而对任意 $n > 1 $，都有\[3{n^2} - 4n + 2=3\left(n-\dfrac23\right)^2+\dfrac23>1,\]且 $3{n^2} - 4n + 2 \in {{\mathbb{N}}^ * }$，所以对任意 $n > 1$，都有 $m = 3{n^2} - 4n + 2\in {{\mathbb{N}}^ * }$，使得 ${a_1}$，$ {a_n} $，$ {a_m}$ 成等比数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
