$\left({0,\dfrac{2}{5}} \right)$ 和 $ \left( {2,+\infty } \right)$

本题是利用导数研究函数的单调性问题．按照不含参函数求单调性的步骤即可．当 $a = - 4$ 时，\[f\left( x \right) = {\left( {2x - 4} \right)^2}\sqrt x = 4{\left( {x - 2} \right)^2}\sqrt x ,\]$f\left( x \right)$ 的定义域为 $\left[ {0, + \infty } \right)$，\[\begin{split}f' \left( x \right) & \overset{\left[a\right]}= 8\left( {x - 2} \right)\sqrt x + \dfrac{2{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{\sqrt x } \\& = \dfrac{2{\left( {x - 2} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{\sqrt x },\end{split}\]（推导中用到[a]）．
令 $f'\left( x \right) > 0$，得 $0< x < \dfrac{2}{5}$ 或 $x > 2$，所以当 $a = - 4$ 时，$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left({0,\dfrac{2}{5}} \right)$ 和 $ \left( {2,+\infty } \right)$．

$a = - 10$

本题是已知函数的最小值求参数的值得问题，此题是利用导数研究含参函数最值的步骤分类讨论求得最小值，让其等于 $8$，求得 $a$ 的值，注意需要检验 $a$ 是否满足条件．$f\left( x \right) = {\left( {2x + a} \right)^2}\sqrt x $，\[\begin{split}f'\left( x \right) & \overset{\left[a\right]} = 4\left( {2x + a} \right)\sqrt x + \dfrac{{{{\left( {2x + a} \right)}^2}}}{2\sqrt x } \\& = \dfrac{{\left( {2x + a} \right)\left( {10x + a} \right)}}{2\sqrt x },\end{split}\]（推导中用到[a]）．
令 $f'\left( x \right) = 0$，得\[{x_1} = - \dfrac{a}{2},{x_2} = - \dfrac{a}{10},\]$\because a < 0$，$\therefore$ $ {x_1} > {x_2} > 0,$
所以，在区间 $\left( {0, - \dfrac{ a }{ 10 }} \right),\left( { - \dfrac{ a }{ 2 }, + \infty } \right)$ 上，$f'\left( x \right) > 0$，$f\left(x\right)$ 单调递增；在区间 $\left( { - \dfrac{ a }{ 10 } , - \dfrac{ a }{ 2 }} \right)$ 上，$f'\left( x \right) < 0$，$f\left(x\right)$ 单调递减．
又易知\[f\left( x \right) = {\left( {2x + a} \right)^2}\sqrt x \geqslant 0,\]且 $f\left( { - \dfrac{a}{2}} \right) = 0$，
① 当 $ - \dfrac{a}{2} \leqslant 1$，即 $ - 2 \leqslant a < 0$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[1,4\right]$ 上的最小值为 $f\left( 1 \right)$，由\[f\left( 1 \right) = 4 + 4a + {a^2} =8,\]得 $a = - 2 \pm 2\sqrt 2$，均不符合题意．
② 当 $1 < - \dfrac{a}{2} \leqslant 4$，即 $ - 8 \leqslant a < - 2$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[1,4\right]$ 上的最小值为 $f\left( { - \dfrac{a}{2}} \right) = 0$，不符合题意．
③ 当 $ - \dfrac{a}{2} > 4$，即 $a < - 8$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[1,4\right]$ 上的最小值可能在 $x = 1 或 x = 4$ 时取到，而 $f\left( 1 \right) \ne 8$，所以\[f\left( 4 \right) = 2\left(64 + 16a + {a^2}\right) = 8,\]得\[a = - 10 或 a = - 6 \left(舍去\right),\]当 $a = - 10$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[1,4\right]$ 上单调递减，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[1,4\right]$ 上的最小值 $f\left( 4 \right) = 8$，符合题意．
综上，$a = - 10$．