如图，三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，$A{A_1} \perp BC$，${A_1}B \perp B{B_1}$．
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（文）
【标注】
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求证：${A_1}{C} \perp C{C_1}$；标注答案略解析本题考查异面直线垂直的证明问题，借助线面垂直进行证明．三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，
$\because A{A_1} \perp BC$，$\therefore B{B_1} \perp BC$．
又 $B{B_1} \perp {A_1}B$，且 $BC \cap {A_1}B = B$，
$\therefore B{B_1} \perp 面 BC{A_1}$．
又 $B{B_1}\parallel C{C_1}$，$\therefore C{C_1} \perp 面 BC{A_1}$．
又 $ A_1{C} \subset 面 BC{A_1}$，
$\therefore$ ${A_1}C \perp C{C_1}$． -
若 $AB = 2$，$AC = \sqrt 3$，$BC = \sqrt 7 $，问 $A{A_1}$ 为何值时，三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 体积最大，并求此最大值．标注答案当 $ A { A _1} = \dfrac{{\sqrt {42} }}{7}$ 时，三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 体积最大，最大值为 $\dfrac{3\sqrt 7 }{7}$解析本题考查三棱柱的体积计算，把体积表示为棱长的函数，研究其最值．设 $A{A_1} = x $，在 ${\mathrm{Rt}}\triangle {A_1}B{B_1}$ 中，\[A_1B = \sqrt {{A_1}B_1^2 - BB_1^2} = \sqrt {4 - {x^2}} ,\]同理，\[{A_1} C = \sqrt {{A_1}C_1^2 - CC_1^2} = \sqrt {3 - {x^2}} ,\]在 $\triangle {A_1}BC$ 中，\[\begin{split}\cos \angle B{A_1}C & \overset{\left[a\right]}= \dfrac{{{A_1}{B^2} + {A_1}{C^2} - B{C^2}}}{{2{A_1}B \cdot {A_1}C}} \\& = - \dfrac{x^2}{{\sqrt {\left(4 - {x^2}\right)\left(3 - {x^2}\right)} }},\\ \sin \angle B{A_1}C & = \sqrt {\dfrac{{12 - 7{x^2}}}{{\left(4 - {x^2}\right)\left(3 - {x^2}\right)}}} ,\end{split}\]（推导中用到[a]）．
所以由三角形面积公式得\[\begin{split}{S_{\triangle {A_1}BC}} & = \dfrac{1}{2}{A_1}B \cdot {A_1}C \cdot \sin \angle B{A_1}C \\& = \dfrac{{\sqrt {12 - 7{x^2}} }}{2},\end{split}\]从而三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 的体积\[\begin{split}V &\overset{\left[a\right]}= {S_{\triangle {A_1}BC}} \cdot A{A_1} \\& = \dfrac{{x\sqrt {12 - 7{x^2}} }}{2}\\&=\dfrac 12 \sqrt {12{x^2} - 7{x^4}} \\& =\dfrac 12 \sqrt { - 7\left({x^2} - \dfrac{6}{7}\right)^2 + \dfrac{36}{7}} ,\end{split}\]（推导中用到[a]）．
故当 $x = \dfrac{{\sqrt {42} }}{7}$，即 $ A { A _1} = \dfrac{{\sqrt {42} }}{7}$ 时，三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 体积最大，最大值为 $\dfrac{3\sqrt 7 }{7}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
