将连续正整数 $1,2, \cdots ,n\left(n \in {\mathbb{N}}^*\right)$ 从小到大排列构成一个数 $123 \cdots n$，$F\left(n\right)$ 为这个数的位数（如 $n = 12$ 时，此数为 $123456789101112$，共有 $ 15 $ 个数字，$F\left(12\right) = 15$），现从这个数中随机取一个数字，$p\left(n\right)$ 为恰好取到 $ 0 $ 的概率．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $p\left(100\right)$；标注答案$p\left(100\right)= \dfrac{11}{192}$解析本小题考查对新定义的理解．当 $ n=100 $ 时，这个数中总共有 $ 192 $ 个数字，其中数字 $ 0 $ 的个数为 $ 11 $，所以恰好取到 $ 0 $ 的概率为\[p\left(100\right)\overset{\left[a\right]}= \dfrac{11}{192}.\]（推导中用到[a]）
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当 $n \leqslant 2014$ 时，求 $F\left(n\right)$ 的表达式；标注答案\[F\left(n\right) = \begin{cases}
n,&1 \leqslant n \leqslant 9, \\
2n - 9,&10 \leqslant n \leqslant 99, \\
3n - 108,&100 \leqslant n \leqslant 999, \\
4n - 1107,&1000 \leqslant n \leqslant 2014. \\
\end{cases}\]解析本小题考查面对复杂问题的分类讨论能力，同时为第 $(3)$ 小题铺路．由题意知 $F\left(n\right)$ 为分段函数，分段计算得：\[F\left(n\right) = \begin{cases}
n,&1 \leqslant n \leqslant 9, \\
2n - 9,&10 \leqslant n \leqslant 99, \\
3n - 108,&100 \leqslant n \leqslant 999, \\
4n - 1107,&1000 \leqslant n \leqslant 2014. \\
\end{cases}\] -
令 $g\left(n\right)$ 为这个数中数字 $ 0 $ 的个数，$f\left(n\right)$ 为这个数中数字 $ 9 $ 的个数，$h\left(n\right) = f\left(n\right) - g\left(n\right)$，$S = \left\{ n\left|\right.h\left(n\right) = 1,n \leqslant 100,n \in {\mathbb{N}}^*\right\} $，求当 $n \in S$ 时 $p\left(n\right)$ 的最大值．标注答案$\dfrac{1}{19}$解析本小题给出了集合 $S$ 的定义，实际上就是研究 $9,0$ 的分布情况，只要注意观察其规律，就可以很快解决问题．$g\left(n\right)$ 为分段函数，分段计算：
当 $n=b\left( 1 \leqslant b \leqslant 9,b \in {{\mathbb{N}}^* }\right) $ 时，\[ g\left(n\right)=0 ;\]当 $n=10k+b $ $\left(1 \leqslant k \leqslant 9,0 \leqslant b \leqslant 9,k \in {{\mathbb{N}}^* },b \in {\mathbb{N}}\right)$ 时，\[ g\left(n\right)=k; \]当 $ n=100 $ 时，\[ g\left(n\right)=11, \]即\[g\left(n\right) = \begin{cases}
0,&1 \leqslant n \leqslant 9, \\
k,&n = 10k + b, \\
11,&n = 100. \\
\end{cases}\]其中 $1 \leqslant k \leqslant 9,0 \leqslant b \leqslant 9,k \in {{\mathbb{N}}^* },b \in{\mathbb{ N}}$．同理有\[f\left(n\right) = \begin{cases}0,&1 \leqslant n \leqslant 8, \\
k,&n = 10k + b-1, \\
n - 80,&89 \leqslant n \leqslant 98, \\
20,&n = 99,100 .\\
\end{cases}\]其中 $1 \leqslant k \leqslant 8,0 \leqslant b \leqslant 9,k \in {{\mathbb{N}}^*},b \in {\mathbb{N}}$．由 $h\left(n\right)=f\left(n\right)-g\left(n\right)=1$，可知\[ n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90. \]所以当 $n \leqslant 100$ 时，\[S= \left\{ {9,19,29,39,49,59,69,79,89,90 }\right\} .\]由古典概型知：
当 $ n=9 $ 时，\[ p\left(9\right)=0, \]当 $ n=90 $ 时，\[p\left(90\right)= \dfrac{g\left(90\right)}{F\left(90\right)} = \dfrac{1}{19},\]当 $n=10k+9\left(1 \leqslant k \leqslant 8, k \in {{\mathbb{N}}^*}\right) $ 时，\[p\left(n\right)= \dfrac{g\left(n\right)}{F\left(n\right)} = \dfrac{k}{2n - 9} = \dfrac{k}{20k + 9}.\]由于 $y= \dfrac{k}{20k + 9}$ 关于 $ k $ 单调递增，故当 $n=10k+9\left( 1 \leqslant k \leqslant 8,k \in {{\mathbb{N}}^*}\right) $ 时，$ p\left(n\right) $ 的最大值为\[p\left(89\right)= \dfrac{8}{169},\]又 $\dfrac{8}{169} <\dfrac{1}{19}$，所以最大值为 $\dfrac{1}{19}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
