某产品的三个质量指标分别为 $x$，$y$，$z$，用综合指标 $S = x + y + z$ 评价该产品的等级．若 $S \leqslant 4$，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取 $ 10 $ 件产品作为样本，其质量指标列表如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
产品编号 & A_1 & A_2 & A_3 & A_4 & A_5 \\ \hline
质量指标 \left(x,y,z \right)& \left(1,1,2 \right)& \left(2,1,1 \right)& \left(2,2,2 \right)& \left(1,1,1 \right)& \left(1,2,1 \right)\\ \hline
产品编号 & A_6 & A_7 & A_8 & A_9 & A_{10} \\ \hline
质量指标 \left(x,y,z \right)& \left(1,2,2 \right)& \left(2,1,1 \right)& \left(2,2,1 \right)& \left(1,1,1 \right)& \left(2,1,2 \right)\\ \hline
\end{array} \]
产品编号 & A_1 & A_2 & A_3 & A_4 & A_5 \\ \hline
质量指标 \left(x,y,z \right)& \left(1,1,2 \right)& \left(2,1,1 \right)& \left(2,2,2 \right)& \left(1,1,1 \right)& \left(1,2,1 \right)\\ \hline
产品编号 & A_6 & A_7 & A_8 & A_9 & A_{10} \\ \hline
质量指标 \left(x,y,z \right)& \left(1,2,2 \right)& \left(2,1,1 \right)& \left(2,2,1 \right)& \left(1,1,1 \right)& \left(2,1,2 \right)\\ \hline
\end{array} \]
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（文）
【标注】
-
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．标注答案$0.6$．解析本题考查古典概型相关知识．计算 $ 10 $ 件产品的综合指标 $S$，如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline产品编号 & A_1 & A_2 & A_3 & A_4 & A_5 & A_6 & A_7 & A_8 & A_9 & A_{10} \\ \hline S & 4 & 4 & 6 & 3 & 4 & 5 & 4 & 5 & 3 & 5 \\ \hline\end{array} \]其中 $S \leqslant 4$ 的有 ${A_1},{A_2},{A_4},{A_5},{A_7},{A_9}$，共 $ 6 $ 件，
故该样本的一等品率为 $\dfrac{6}{10} = 0.6$，从而可估计该批产品的一等品率为 $0.6$． -
在该样本的一等品中，随机抽取 $ 2 $ 件产品．
① 用产品编号列出所有可能的结果；
② 设事件 $B$ 为"在取出的 $ 2 $ 件产品中，每件产品的综合指标 $S$ 都等于 $ 4 $ "，求事件 $B$ 发生的概率．标注答案① 略；
② $ \dfrac{2}{5}$．解析本题考查古典概型相关知识，列举满足要求的事件进行计算．① 在该样本的一等品中，随机抽取 $ 2 $ 件产品的所有可能结果为\[ \begin{split}&\left\{ {{A_1},{A_2}} \right\},\left\{ {{A_1},{A_4}} \right\},\left\{ {{A_1},{A_5}} \right\},\left\{ {{A_1},{A_7}} \right\},\left\{ {{A_1},{A_9}} \right\},\\& \left\{ {{A_2},{A_4}} \right\},\left\{ {{A_2},{A_5}} \right\},\left\{ {{A_2},{A_7}} \right\},\left\{ {{A_2},{A_9}} \right\},\left\{ {{A_4},{A_5}} \right\},\\& \left\{ {{A_4},{A_7}} \right\},\left\{ {{A_4},{A_9}} \right\},\left\{ {{A_5},{A_7}} \right\},\left\{ {{A_5},{A_9}} \right\},\left\{ {{A_7},{A_9}} \right\},\end{split} \]共 $ 15 $ 种．
② 在该样本的一等品中，综合指标 $S$ 等于 $ 4 $ 的产品编号分别为 ${A_1},{A_2},{A_5},{A_7}$，则事件 $B$ 发生的所有可能结果为\[ \begin{split}&\left\{ {{A_1},{A_2}} \right\},\left\{ {{A_1},{A_5}} \right\},\left\{ {{A_1},{A_7}} \right\},\\&\left\{ {{A_2},{A_5}} \right\},\left\{ {{A_2},{A_7}} \right\},\left\{ {{A_5},{A_7}} \right\},\end{split} \]共 $ 6 $ 种．所以 $P\left(B\right) = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
