在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $b\sin A = 3c\sin B$，$a = 3$，$\cos B = \dfrac{2}{3}$．
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（文）
【标注】
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求 $b$ 的值；标注答案$b = \sqrt 6 $解析本题考查正余弦定理的应用．通过正弦定理的“边角互化”得出 $c$，再结合余弦定理即可得到答案．在 $\triangle ABC$ 中，由 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$，可得 $b\sin A = a\sin B$．又\[b\sin A = 3c\sin B,\]可得 $a = 3c$．又 $a = 3$，故 $c = 1$．由\[\begin{split}{b^2} &\overset{\left[a\right]}= {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B,
\cos B &= \dfrac{2}{3},\end{split}\]（推导中用到[a]）
可得 $b = \sqrt 6 $． -
求 $\sin \left( {2B - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right)$ 的值．标注答案$\dfrac{4\sqrt 5 + \sqrt 3 }{18}$解析本题考查二倍角公式、和差角公式、同角三角函数关系等知识．将题中代数式打开，变形成角度为 $B$ 的三角函数即可求解．由 $\cos B = \dfrac{2}{3}$，得 $\sin B = \dfrac{\sqrt 5 }{3}$，进而得\[\begin{split}\cos 2B &\overset{\left[a\right]}= 2{\cos ^2}B - 1 = - \dfrac{1}{9},\\
\sin 2B &\overset{\left[a\right]}= 2\sin B\cos B = \dfrac{4\sqrt 5 }{9},\end{split}\]（推导中用到[a]），所以\[\begin{split}\sin \left( {2B - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right) &\overset{\left[a\right]}= \sin 2B\cos \dfrac{\mathrm \pi} {3} - \cos 2B\sin \dfrac{\mathrm \pi} {3} \\&= \dfrac{4\sqrt 5 + \sqrt 3 }{18}.\end{split}\]（推导中用到[a]）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
