已知首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$，且 $ - 2{S_2}$，${S_3}$，$4{S_4}$ 成等差数列．
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = { \left( - 1 \right)^{n - 1}} \cdot \dfrac{3}{2^n}$解析本题考查等差数列、等比数列性质的应用．设等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $q$．
因为 $ - 2{S_2}$，${S_3}$，$4{S_4}$ 成等差数列，所以\[{S_3} + 2{S_2} = 4{S_4} - {S_3},\]即\[{S_4} - {S_3} = {S_2} - {S_4},\]可得\[2{a_4} = - {a_3},\]于是\[q \overset{\left[a\right]}= \dfrac{a_4}{a_3} =- \dfrac{1}{2}.\]（推导中用到[a]）
又因为 ${a_1} = \dfrac{3}{2}$，所以等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为\[\begin{split}{a_n} &= \dfrac{3}{2} \cdot {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \\&= { \left( - 1 \right)^{n - 1}} \cdot \dfrac{3}{2^n}.\end{split}\] -
证明 ${S_n} + \dfrac{1}{S_n} \leqslant \dfrac{13}{6}\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$．标注答案略解析本题考查等比数列的前 $n$ 项和的计算以及数列的单调性相关问题．由（1）得 ${S_n} = 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n}$，所以\[\begin{split}{S_n} + \dfrac{1}{S_n} &= 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n} + \dfrac{1}{{1 - {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}} \\&= {\begin{cases}
2 + \dfrac{1}{{{2^n}\left({2^n} + 1\right)}},n为奇数, \\
2 + \dfrac{1}{{{2^n}\left({2^n} - 1\right)}},n为偶数. \\
\end{cases}}\end{split}\]当 $n$ 为奇数时，${S_n} + \dfrac{1}{S_n}$ 随 $n$ 的增大而减小，所以\[\begin{split}{S_n} + \dfrac{1}{S_n} & \leqslant {S_1} + \dfrac{1}{S_1} \\&= \dfrac{13}{6}.\end{split}\]当 $n$ 为偶数时，${S_n} + \dfrac{1}{S_n}$ 随 $n$ 的增大而减小，所以\[\begin{split}{S_n} + \dfrac{1}{S_n} & \leqslant {S_2} + \dfrac{1}{S_2} \\&= \dfrac{25}{12}.\end{split}\]故对于 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$，有 ${S_n} + \dfrac{1}{S_n} \leqslant \dfrac{13}{6}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
