设 $A_1,A_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点，若椭圆上存在不同于 $A_1,A_2$ 的点 $P$，使得 $\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{PA_2}=0$，其中 $O$ 为坐标原点，则椭圆的离心率 $e$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$，则\[\begin{split} \overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{PA_2}&=(-a\cos\theta,-b\sin\theta)\cdot (a-a\cos\theta,-b\sin\theta)\\
&=-a^2\cos\theta+a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta\\
&=(a^2-b^2)\cos^2\theta-a^2\cos\theta+b^2\\
&=a^2\cdot \left(e^2\cos^2\theta-\cos\theta+1-e^2\right)\\
&=a^2(\cos\theta-1)(e^2\cos\theta+e^2-1)\\
&=0,\end{split}\]于是\[-1<\dfrac{e^2-1}{e^2}<1,\]解得\[\dfrac{\sqrt 2}2<e<1.\]
&=-a^2\cos\theta+a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta\\
&=(a^2-b^2)\cos^2\theta-a^2\cos\theta+b^2\\
&=a^2\cdot \left(e^2\cos^2\theta-\cos\theta+1-e^2\right)\\
&=a^2(\cos\theta-1)(e^2\cos\theta+e^2-1)\\
&=0,\end{split}\]于是\[-1<\dfrac{e^2-1}{e^2}<1,\]解得\[\dfrac{\sqrt 2}2<e<1.\]
题目
答案
解析
备注
