略

本题要证三角形 $ACB_1$ 为等腰三角形，可尝试利用证明三线合一的方式进行．如图，连接 $BC_1 $．因为 $AO\perp $ 平面 $B{B_1}{C_1}C$，且 ${B_1}C \subset $ 平面 $B{B_1}{C_1}C$，
所以 $AO \perp {B_1}C$．
又因侧面 $B{B_1}{C_1}C $ 为菱形，
所以 $B{C_1} \perp {B_1}C$．
因为 $AO \cap B{C_1} = O$，
所以 ${B_1}C \perp $ 平面 $ABO$，
而 $AB\subset 平面 ABO$，所以 ${B_1}C \perp AB$．

$\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$

本题考查三棱柱的高的计算，可考虑等体积法进行求解．因为 $AO\perp $ 平面 $B{B_1}{C_1}C$，
所以 $AO \perp BO$．
又 $\angle CB{B_1} = 60^\circ$，$BC = 1 $，所以 $BO = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$．
因为 $AC\perp A{B_1}$，所以\[AC = A{B_1} = \dfrac{\sqrt 2 }{2} , AO = \dfrac{1}{2},\]所以\[AB = \sqrt[{}]{{A{O^2} + {OB^2}}} = 1,\]易得\[{S_{\triangle ABC}} = \dfrac{\sqrt 7 }{8}.\]又 ${S_{\triangle CB{B_1}}} = \dfrac{\sqrt 3 }{4}$，所以\[\begin{split}{V_{A - B{B_1}C}} &\overset{\left[a\right]}= \dfrac 13 \cdot S_{\triangle{CBB_1}}\cdot OA\\&=\dfrac{\sqrt 3 }{24}.\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$）
因为 ${V_{B_1 - A{B}C}} = {V_{A - B{B_1}C}}$，设三棱锥 $ {B_1 - A{B}C} $ 的高为 $h$，则\[\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot {S_{\triangle ABC}} = \dfrac{\sqrt 3 }{24},\]解得 $h = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$，所以三棱柱 $ABC-{A_1}{B_1}{C_1} $ 的高是 $\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$．