题目 已知点 $P\left(2,2\right) $，圆 $C: {x^2} + {y^2} - 8y = 0$，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB $ 的中点为 $M$，$O$ 为坐标原点． 问题1 求 $M $ 的轨迹方程； 答案1 $ \left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=2 $ 解析1 注意到 $CM\perp MP$，所以动点 $M$ 在以 $CP$ 为直径的圆上．圆 $C $ 的标准方程为\[{x^2} + {\left(y - 4\right)^2} = 16.\]故圆心为 $C\left(0,4\right)$，设 $M\left(x,y\right)$，<br/>则\[\overrightarrow {CM}\overset{\left[a\right]}=\left(x,y-4\right), \overrightarrow {MP}\overset{\left[a\right]}=\left(2-x,2-y\right).\]（推导中用到：$\left[a\right]$）<br/>由题设知 $ CM\perp MP $，所以\[\overrightarrow {CM}\cdot \overrightarrow {MP}=0, \]故\[ x\left(2-x\right)+\left(y-4\right)\left(2-y\right)\overset{\left[b\right]}=0.\]（推导中用到：$\left[b\right]$）<br/>即\[\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=2 .\]由于 $P$ 点在圆 $ C $ 内部，所以 $M$ 的轨迹方程为\[\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=2.\] 备注1 问题2 当 $|OP| = |OM|$ 时，求 $l $ 的方程及 $\triangle POM$ 的面积． 答案2 $\dfrac{16}{5}$ 解析2 可分析几何关系确定此时直线 $l$ 的斜率，进而求解 $S_{\triangle POM}$ 的面积．由（1）可知 $M$ 的轨迹是以点 $N\left(1,3\right)$ 为圆心，$\sqrt 2$ 为半径的圆．<br/>由于 $|OP|=|OM|$，故 $O$ 在线段 $PM$ 的垂直平分线上．<br/>又 $P$ 在圆 $N$ 上，从而 $ON \perp PM$．<br/>因为 $ON$ 的斜率为 $3$，所以 $l$ 的斜率为 $-\dfrac 1 3 $，<br/>故 $l$ 的方程为\[y=-\dfrac 1 3 x+\dfrac 8 3. \]又 $|OM|=|OP|=2\sqrt 2$，$O$ 到 $l$ 的距离\[d\overset{\left[a\right]}=\dfrac{|-8|}{\sqrt{1+9}} =\dfrac{4\sqrt {10}}{5}, \]（推导中用到：$\left[a\right]$）<br/>所以\[ |PM|=2\sqrt{|OM|^2-d^2}=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}, \]所以 $\triangle POM$ 的面积为\[S=\dfrac 12\cdot |PM|\cdot d=\dfrac{16}{5}.\] 备注2