已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n} = \dfrac{{{n^2} + n}}{2} $，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = n$．解析本题考查由前 $n$ 项和公式求通项公式的方法，利用当 $n\geqslant2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}$ 求解，并注意验证 $n=1$ 时是否符合即可．当 $n = 1$ 时，可得\[{a_1} = {S_1} = 1;\]当 $n \geqslant 2$ 时，可得\[ {a_n}\overset{\left[a\right]}= {S_n} - {S_{n - 1}} = \dfrac{{{n^2} + n}}{2} - \dfrac{{{{\left( {n - 1} \right)}^2} + \left( {n - 1} \right)}}{2} = n. \]（推导中用到[a]）
检验知，$ n=1 $ 时也符合．
故数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = n$． -
设 ${b_n} = {2^{a_n}} + {\left( { - 1} \right)^n}{a_n}$，求数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $2n$ 项和．标注答案${T_{2n}} = {2^{2 n + 1}} + n - 2$．解析本题考查数列求和问题，根据 $b_n$ 的形式，采取分组求和是本题的关键．由（1）可得\[{b_n} = {2^n} + {\left( { - 1} \right)^n}n.\]记数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $2n$ 项和为 ${T_{2n}}$，则\[ {T_{2n}} = \left( {{2^1} + {2^2} + \cdots + {2^{2n}}} \right) + \left( { - 1 + 2 - 3 + 4 - \cdots + 2n} \right). \]记\[ \begin{split}&A = {2^1} + {2^2} + \cdots + {2^{2n}},\\&B = - 1 + 2 - 3 + 4 - \cdots + 2n ,\end{split} \]则\[ \begin{split} A &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{{2\left(1 - {2^{2 n }}\right)}}{1 - 2} = {2^{2n + 1}} - 2, \\
B & = \left( - 1 + 2\right) + \left( - 3 + 4\right) + \cdots + \left[ { - \left(2n - 1\right) + 2n} \right] = n.
\end{split} \]（推导中用到[a]）
故数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $2n$ 项和\[{T_{2n}}= {2^{2 n + 1}} + n - 2.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
