题目 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：\[<br/>\left( {a , b} \right) , \left( {a , \overline b} \right) , \left( {a , b} \right) , \left( {\overline a , b} \right) , \left( {\overline a , \overline b} \right) , \left( {a , b} \right) , \left( {a , b} \right) ,\\ \left( {a , \overline b} \right) ,<br/>\left( {\overline a , b} \right) , \left( {a , \overline b} \right) , \left( {\overline a , \overline b} \right) , \left( {a , b} \right) , \left( {a , \overline b} \right) , \left( {\overline a , b} \right) , \left( {a , b} \right). \]其中 $a$，$\overline a$ 分别表示甲组研发成功和失败；$b$，$ \overline b$ 分别表示乙组研发成功和失败． 问题1 若某组成功研发一种新产品，则给该组记 $ 1 $ 分，否则记 $ 0 $ 分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； 答案1 $\overline x_甲 = \dfrac{2}{3}$，$s_甲^2 = \dfrac{2}{9}$；$\overline x_乙= \dfrac{3}{5}$，$s_乙^2= \dfrac{6}{25}$；<br/>甲组的研发水平优于乙组． 解析1 本题考查样本的数字特征，由研发结果得出各组的成功失败的个数，再根据公式计算即可．甲组研发新产品的成绩为\[1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1 ,\]其平均数\[\overline x_甲= \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3};\]方差\[s_甲^2= \dfrac{1}{15}\left[ {{{\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} \times 10 + {{\left( {0 - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} \times 5} \right] = \dfrac{2}{9}.\]乙组研发新产品的成绩为\[1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1 ,\]其平均数\[\overline x_乙= \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5},\]方差为\[s_乙^2 = \dfrac{1}{15}\left[ {{{\left( {1 - \dfrac{3}{5}} \right)}^2} \times 9 + {{\left( {0 - \dfrac{3}{5}} \right)}^2} \times 6} \right] = \dfrac{6}{25}.\]因为 $\overline x_甲> \overline x_乙$，$s_甲^2{ < }s_乙^2$，所以甲组的研发水平优于乙组． 备注1 问题2 若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 答案2 $\dfrac{7}{15}$． 解析2 本题考查古典概型．记 $E = $ {恰有一组研发成功}，在所抽取的 $15$ 个结果中，恰有一组研发成功的结果是\[ \left( {a , \overline b} \right) , \left( {\overline a , b} \right) , \left( {a , \overline { b} } \right) , \left( {\overline a , b} \right) , \left( {a , \overline b} \right) , \left( {a , \overline b} \right) , \left( {\overline a , b} \right), \]共 $7$ 个，故事件 $ E $ 发生的频率为 $\dfrac{7}{15}$．<br/>将频率视为概率，即得所求概率为 $P\left( E \right) = \dfrac{7}{15}$． 备注2